Большая техническая энциклопедия
0 1 3 5 8
D N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ДА ДВ ДЕ ДЖ ДЗ ДИ ДЛ ДО ДР ДУ

Диагонализация - матрица

 
Диагонализация матриц с размерностью менее ста не слишком сложна при использовании существующих ЭВМ и занимает относительно немного времени. Однако для матриц больших порядков эта задача осложняется: во-первых, диагонализация матриц больших порядков требует применения ЭВМ с большей оперативной памятью и более высоким быстродействием; во-вторых, что особенно важно в квантовохимических расчетах с самосогласованием по матрице плотности, точность вычисления собственных векторов и собственных значений должна быть высокой, что приводит к дополнительному увеличению времени расчета.
Диагонализация матрицы Т дает спектр собственных значений задачи.
Однако и диагонализация матрицы состояний, и математическая децентрализация часто не дают прак - - ических результатов, а лишь подтверждают ( используя юстаточно сложные приемы), что структура с иерархической организацией и автономными управляемыми параметрами является более предпочтительной для анализа и особенно синтеза управляющих систем реального времени. Между тем в практике создания АСУ ТП имеются от - 1етливые технические аналоги упомянутым математиче-жим приемам. При необходимости могут быть выявлены ( сравнительно небольшие и, главное относительно медленные) взаимные влияния отдельных параметров и управляющих воздействий и внесена необходимая коррекция в алгоритм управления.
Отвергнуть в процедуре диагонализации матрицы А все плоские вращения, кроме якобиевых - это все равно, что выходить на боксерский ринг с одной рукой, привязанной за спину.
Таким образом, на основании диагонализации матрицы ( G) ( V) - ( G), которая является симметричной, с порядком т, равным числу групп, причем, как правило, тр, можно вычислить собственные значения ( А.
Для уровней энергии, полученных диагонализацией матрицы Н, ниже будет использовано обозначение JP, 8P0, 8РП 8Р2 ( ср.
Таким образом, вся задача состоит в диагонализации матрицы А или А.
Читатели могут найти подробные сведения о процедуре диагонализации матрицы в (3.8) в учебниках по линейной алгебре или классической механике.
Матрица скалярных произведений - ( формально) ковариант-ная матрица; диагонализация ковариантной матрицы дает главные множители. Для системы в трехмерном пространстве их будет ровно три.
Поэтому процесс нахождения собственных значений данной динамической матрицы называют обычно диагонализацией матрицы. Аналогично процедуру решения вариационных уравнений (2.90) и (2.91) часто называют отысканием собственных значений и собственных векторов соответствующей матрицы, ибо корни ai уравнения (2.90), очевидно, являются компонентами одного собственного вектора матрицы [ Нц ] [ ср.
Наиболее прямой метод решения задачи первого приближения теории возмущений состоит в диагонализации матрицы суммарной энергии ( суммы электростатической и энергии взаимодействия спина с орбитой) для данной конфигурации схемы нулевого приближения. Этот процесс практически невыполним для всех конфигураций, за исключением простейших случаев, ввиду высокого порядка получающихся вековых уравнений. Общее решение возможно в большем числе случаев, если воспользоваться схемой SUM, но, чтобы осуществить эту возможность, необходимо, за исключением специальных случаев, проделать преобразование к этой схеме. Ввиду сложности этой задачи и невозможности получения общего решения для сложных конфигураций желательно получить результаты элементарного, хотя бы и приближенно, характера. В предшествующих трех главах мы рассматривали тот важный случай, когда взаимодействие спина с орбитой мало в сравнении с электростатическим; в этой главе будет интересно рассмотреть менее важный случай, в котором электростатическое взаимодействие слабо в сравнении с взаимодействием спина с орбитой.
Доказательство существенно использует следующую лемму, вытекающую из описанного в § 1 метода диагонализации матрицы.
В предыдущем разделе показано, что нахождение переходной матрицы может быть упрощено использованием диагонализации матрицы А. Эта диагонализация невозможна, если n х n - матрица А не имеет п линейно независимых собственных векторов. В этом случае, однако, можно привести матрицу А к так называемой канонической форме Жордана, которая является квазидиагональной и из которой можно получить переходную матрицу.
Пользуясь соотношениями (1.6.4) (1.6.6) система уравнений (1.6.1) и граничные условия (1.6.2), (1.6.3) преобразуются к несвязанной форме посредством диагонализации матриц многокомпонентной диффузией, что позволяет уже применять к полученной системе уравнений (1.6.5) известные методы решения. Затем при помощи обратного матричного преобразования (1.6.6) находятся распределения компонентов многокомпонентной смеси в фазах.
Это позволяет сократить без дополнительных приближений порядок решаемых в методе ХФР вековых уравнений и одновременно увеличить точность вычислений благодаря переходу к диагонализации матриц меньшего порядка.

Здесь во второй сумме, носящей название обменной поправки, суммирование производится по всем состояниям с одинаковым направлением спина, параллельным рассматриваемому ( в случае замкнутой оболочки п четно и число состояний с одинаковым спином равно / 2, так что / пробегает / 2 - 1 значений), а БД - так называемые множители Лагранжа, диагональные элементы которых ( после диагонализации матрицы е й) равны соответствующим одноэлектронным энергиям. Они интегрируются в принципе аналогично уравнениям Хартри.
Важно заметить, однако, что взаимодействие (7.3.17) не совпадает полностью с взаимодействием (7.3.13), так как равенство (7.3.17) справедливо только для матричных элементов, диагональных поу. Диагонализация получающейся матрицы гамильтониана представляется гораздо более сложной для аномального эффекта Зеемана, и результаты выглядят просто только в различных предельных случаях.
Основной эффект, состоящий в существовании щели между зоной проводимости и валентной зоной, возникает из-за наличия псевдопотенциала, точнее его матричного элемента Wm - Поэтому в самой простой теории следует сохранить только этот матричный элемент. В этом случае диагонализация матрицы упрощается.
Без использования сим метризованного базиса атомных функций расчеты такого рода были бы практически неосуществимы даже на основе полуэмпирических схем квантовой химии. Как известно, время диагонализации матрицы на ЭВМ растет пропорционально кубу размерности матрицы.
Этот метод приведения к диагональному виду эрмитовой матрицы ( в данном случае она симметрична) с помощью унитарной матрицы и матрицы, обратной ей, имеет общее значение для любых эрмитовых матриц. В этой книге чаще всего встречаются примеры диагонализации матриц гамильтониана ( гл.
Фазы состояний 15-связи выбраны произвольно. Преобразование к / / - связи можно также получить посредством диагонализации матриц ( табл. 23) спин-орбитального взаимодействия в схеме LS-связи; в этом случае фазы состояний / / - связи остаются неопределенными. Это, возможно, окажется полезным для конфигурации, содержащей более двух эквивалентных электронов, если матрица спин-орбитального взаимодействия невырождена.
МЛ, с которой начинается считывание матрицы коэффициентов МО п вектора энергий одноэлектрон-ных МО, если данный расчет является продолжением незаконченного ранее расчета. При LVG; 0 считывания нет, расчет начинается с диагонализации матрицы гамильтониана остова.
Диагонализация матриц с размерностью менее ста не слишком сложна при использовании существующих ЭВМ и занимает относительно немного времени. Однако для матриц больших порядков эта задача осложняется: во-первых, диагонализация матриц больших порядков требует применения ЭВМ с большей оперативной памятью и более высоким быстродействием; во-вторых, что особенно важно в квантовохимических расчетах с самосогласованием по матрице плотности, точность вычисления собственных векторов и собственных значений должна быть высокой, что приводит к дополнительному увеличению времени расчета.
Никому еще не удалось построить матрицу Alt такую, чтобы в точной арифметике последовательность As, порождаемая QL-алгоритмом со сдвигами (8.7.1), не сходилась и в то же время была нестационарна, хотя такие матрицы и должны существовать. Простая стратегия сдвигов по отношениям Релея превращает QL в мощное средство диагонализации матрицы. В § 8.9 будет описана несколько более сложная стратегия, дающая еще лучшие результаты.
Для оснащенного зацепления L определена симметричная матрица зацепления порядка п, где п - число компонент зацепления. Индексом зацепления 5 ( L) называется число отрицательных диагональных элементов в диагонализации матрицы зацепления.
СТВ - 51, число собственных значений на уровне 10 - 4 из которых генерируется сам спектр, равно соответственно 19 н 6, время на диагонализацию матрицы составляет соответственно 29 и 1 мин.
Спиновая плотность в отрицательном ионе пирена. В табл. 29 аналогичные величины приведены для пирена. Под экспериментальными спиновыми плотностями мы подразумеваем те величины, которые при использовании формулы ( 24) дают правильные экспериментальные значения н - Спиновые плотности были рассчитаны для молекулы нафталина [12] с помощью теории возмущений и для пирена [13] путем диагонализации матрицы полного гамильтониана. Согласие между величинами, приводимыми в обеих таблицах, вполне удовлетворительное; интересно, что оба метода вычислений предсказывают существование отрицательных спиновых плотностей в положении 9 в нафталине и в положении 2 в пирене. В этом отношении эти два метода следует считать более оправданными, чем ограниченный метод Хартри - Фока, который по своей сути не может привести к отрицательным значениям спиновых плотностей, встречающимся, как известно, в я-ионах и триплетных состояниях.
Спиновая плотность в отрицательном ионе пирена. В табл. 29 аналогичные величины приведены для пирена. Под экспериментальными спиновыми плотностями мы подразумеваем те величины, которые при использовании формулы ( 24) дают правильные экспериментальные значения н - Спиновые плотности были рассчитаны для молекулы нафталина [12] с помощью теории возмущений и для пирена 113 ] путем диагонализации матрицы полного гамильтониана. Согласие между величинами, приводимыми в обеих таблицах, вполне удовлетворительное; интересно, что оба метода вычислений предсказывают существование отрицательных спиновых плотностей в положении 9 в нафталине и в положении 2 в пирене. В этом отношении эти два метода следует считать более оправданными, чем ограниченный метод Хартри - Фока, который по своей сути не может привести к отрицательным значениям спиновых плотностей, встречающимся, как известно, в зт-ионах и триплетных состояниях.

Ортогональным преобразованием, как известно из алгебры, квадратичную форму с симметричной матрицей А можно привести к диагональному виду. Диагонализация матрицы А достигается переходом к базису ортогональных векторов, составленному из собственных векторов матрицы А.
Схема экспериментальной установки для измерения ЭПР-спектра монокристалла. Таким образом мы определим главные значения g - тензо-ра и ориентацию главных осей относительно исходных. Фиксированные оси не вполне произвольны; мы остановимся на этом ниже. Диагонализация матрицы G не составляет труда.
Выражение (2.1.11) дает наиболее быстро сходящийся ряд волновой функции. Диагональное представление волновой функции приводит к диагональной матрице плотности первого порядка. Диагонализация матрицы плотности первого порядка для произвольной многоэлектронной системы позволяет определить натуральные орбитали или, если матрица плотности включает спин, натуральные спин-орбитали.
Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные колебания и вопросы перехода к непрерывным системам. Наиболее ценными являются сведения, изложенные в конце книги, где коротко рассматриваются квадратичные формы и преобразования к главным осям. При изложении вопроса об одновременной диагонализации матриц Т и V автор не пользуется матричной алгеброй, но успешно преодолевает трудности, связанные с наличием кратных корней.
В основу понятия обобщенного решения могут быть положены самые различные подходы. Так, авторы [ Васильев и др., 1987 ] при рассмотрении одномерного варианта ( га 1) задачи (4.4.3) (4.4.7) для определения обобщенного решения использовали свойство эквивалентности на гладких ( классических) решениях дифференциальной системы, построение которой базируется на использовании широко известного аппарата метода характеристик. Суть этого подхода заключается в диагонализации матрицы А системы (4.4.3) с помощью линейного невырожденного преобразования переменных х в инварианты Римана.
В основу понятия обобщенного решения могут быть положены самые различные подходы. Так, авторы [ Васильев и др., 1987 ] при рассмотрении одномерного варианта ( га 1) задачи (4.4.3) - (4.4.7) для определения обобщенного решения использовали свойство эквивалентности на гладких ( классических) решениях дифференциальной системы, построение которой базируется на использовании широко известного аппарата метода характеристик. Суть этого подхода заключается в диагонализации матрицы А системы (4.4.3) с помощью линейного невырожденного преобразования переменных х в инварианты Римана.
Работа химического реактора характеризуется двумя, взаимосвязанными между собой регулируемыми переменными - температурой и концентрацией реакционной смеси в реакторе, изменяющихся под действием четырех возмущений. Выводятся условия инвариантности регулируемых переменных относительно внешних возмущений, для определения параметров компенсаторов системы используются приемы теории фильтрации. Из условий минимизации функции риска и диагонализации матрицы системы с обратной связью ( автоно. Рассматривается также синтез системы управления реактором, когда последний имеет нелинейную модель. Приведена сравнительная оценка разомкнутой, замкнутой и комбинированной систем.
Искомая матрица С приводит матрицы М и Н одновременно к диагональному виду и может быть найдена стандартными методами. Эти методы особенно удобны, если необходимые матрицы могут содержаться в оперативной памяти машины. Имеются, конечно, и другие методы диагонализации матриц в случаях, когда требуется определять немногие собственные значения и собственные векторы матрицы, как, например, при расчетах методом ВС. Эти методы удобны при работе с очень большими матрицами.
Нам уже известен вид функций Kf, Я. Секулярные уравнения с 2 X 2-детерминантом решаются намного проще. Для сравнения укажем, что при проведении расчетов на ЭВМ время, необходимое для диагонализации матрицы, приблизительно пропорционально квадрату ее размерности.
Поправка различных порядков теории возмущений в величину диполыюго момента воды в основном состоянии ( а.е. В этих условиях в качестве опорной следует выбирать двухдетерминантную, а возможно, и многодетер-минантную волновые функции. Формулы теории возмущений становятся при этом, разумеется, существенно более сложными. Теория возмущений позволяет в относительно простой форме приближенно определить собственные значения энергии и отвечающие им собственные функции без диагонализации матрицы в теории КВ.
Здесь применены обозначения: КК ( п, А) - номер субрешетки, на которую под воздействием А перешел атом с субрешетки n; 8ftB - символ Кронекера; аа 3 - элемент трехмерной матрицы, определяющей поворот а. Используя данные монографий [18, 19], мы можем разложить механическое представление на неприводимые части и получить числа ге - , показывающие, сколько раз / - ое неприводимое представление входит в механическое. Унитарная матрица U ( q) порядка Зг / элементы каждого из столбцов которой являются компонентами одного из векторов 1 ( /, Vq), позволяет произвести блочную диагонализацию матриц S и D. Такое построение впервые было выполнено С. Им было обращено внимание на возможность дополнительного вырождения собственных частот вследствие инвариантности уравнений ( 1) относительно операции обращения времени. Обнаруживается, что симметрия внутренних точек на этом направлении всегда ниже симметрии точки q0 и равна или ниже симметрии точки, лежащей на поверхности зоны Бриллюэна. Нам представляется естественным из требования непрерывности энергии как функции q при всех расчетах симметрию конечных точек принимать такой, каковой она является во внутренних точках рассматриваемого направления. И вообще, по-видимому, целесообразно рассматривать симметрию направлений, а не отдельных точек в зоне Бриллюэна.
При моделировании молекулярными системами кристаллов точечная симметрия рассматриваемой квазимолекулы совпадает, как правило, с кристаллическим классом, являющимся для многих кристаллов группой высокой симметрии. В частности, кубической симметрией Oil обладают около 20 % всех кристаллов, в том числе многие металлы и полупроводники, диэлектрики со структурой типа NaCl, представляющие большой практический интерес сег-нетоэлектрики со структурой перовскита KNiFs. К классу Та относятся многие полупроводники ( структура сфалерита), к классу D6h - ряд металлов, некоторые слоистые соединения. Заметим, что даже если точечная группа кристалла не слишком богата ( как у кристаллов, относящихся к классу C2h и составляющих около 22 % всех известных в настоящее время), учет точечной симметрии при расчете электронной структуры целесообразен, если вспомнить о кубической зависимости времени диагонализации матрицы от ее порядка и необходимости итерационного расчета при самосогласовании.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11