Большая техническая энциклопедия
2 3 8 9
U
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ИГ ИД ИЗ ИМ ИН ИО ИР ИС ИТ ИЮ

Измеримое подмножество

 
Измеримые подмножества образуют так называемую а-алгебру F, и предполагается, что всякое разумное подмножество Е С М принадлежит F.
Всякое измеримое подмножество А множества Е называется событием, а его мера - вероятностью события А.
Если У0 - измеримое подмножество У, то сужение k на X X У0 является ограниченным ядром; следовательно достаточно доказать теорему при дополнительном предположении, что мера У конечна.
Если Е есть измеримое подмножество в Qs. Если F - измеримое подмножество в Rs, то тм, р ( F) - вероятность того, что множество выходных символов, перечисляемых М, есть элемент из F, когда машина М работает как р-машина.
Докажите, что любое измеримое подмножество Е базиса Гамеля Н в R имеет меру нуль.
Пусть D - измеримое подмножество произведения SX, состоящее из тех пар ( tt со), в которых последователь.
Пусть D - измеримое подмножество произведения SX &, состоящее из тех пар ( tt ш), в которых последователь.
Теорема 5.1. Совокупность М всех измеримых подмножеств X является а - алгеброй.
Пусть DC DCm - множество всех измеримых подмножеств Rm, множество ЛбЭСи /: А - R - ограниченная и непрерывная на А функция.
Отметим, что мера Лебега на произвольном измеримом подмножестве в R сепарабельна. Действительно, если D - произвольное измеримое подмножество в R с мерой Лебега, то обозначим через S ( D) соответствующее пространство измеримых функций. Покажем, что S ( D) сепарабельно.
Тогда для всякого е 0 в Е существует измеримое подмножество F, такое, что х ( / 7) е, и на множестве Е - F последовательность fn сходится к f равномерно.
У /, состоящее в том, что любое измеримое подмножество А фазового пространства W, инвариантное относительно T - t ( в том смысле, что оно совпадает со всеми своими прообразами ( Т) - 1А), либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает с W.
В этом случае будем искать удовлетворяющее условиям леммы множество В0 среди измеримых подмножеств множества Bk. В дальнейшем, не ограничивая общности, считаем, что 0 у ( В) оо.
Группа X сепарабельна тогда и только тогда, когда метрическое пространство ее измеримых подмножеств конечной меры сепарабельно.
Функция, суммируемая на множестве Е, суммируема и на всяком его измеримом подмножестве.

W, i) - свойство разбиения, состоящее в том, что любое измеримое подмножество AdW, целиком состоящее из элементов, либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает со всем W.
Класс [ F: Я, ( /) Я2 ( F есть ст-адднтнппын класс измеримых подмножеств И. Вывести отсюда, что если вероятности Р ] и Р2 совпадают на замкнутом относительно перееечгни.
А с X и при фиксированной / представляет собой функцию множества, определенную для всех измеримых подмножеств А с X. Такой интеграл называется неопределенным интегралом Лебега. Пространством X может, в частности, служить отрезок числовой прямой.
Теперь достаточно определить cr - алгебру У ( с) как совокупность всех ( с) - измеримых подмножеств Nf ( с), а меру Р Н с) - как ограничение меры vc на а-алгебру У ( с), и теорема доказана.
Ясно, что если функция суммируема на множестве Е, то она суммируема и на любом его измеримом подмножестве.
Если U - какое-нибудь подмножество в S, то множество U i состоящее только из U, есть измеримое подмножество в Rs - Следовательно, всегда можно говорить о вероятности некоторого множества U быть выходом некоторой р-машины. Rs, состоящее из всех множеств, которые содержат все Sjr.
Если в качестве X взять измеримое множество из евклидова пространства Rn, а за 5 принять совокупность всех измеримых подмножеств из X, то пространство В превращается в пространство всех ограниченных измеримых функций, заданных на X.
Если f ( x) интегрируема по Лебегу на множестве Е, то она интегрируема по Лебегу и на всяком его измеримом подмножестве.
Мы собираемся доказать, что образ Р Я Л множества Л при отображении Я ( включенный в X по предыдущему) содержит измеримое подмножество положительной меры.
Итак, в рассматриваемом случае 2 множество Р ( а значит, и множество X, поскольку Р S X) включает измеримое подмножество Y положительной меры. Этим доказательство теоремы Мычельского - Сверчковского закончено.
Если 31 является ст-полем подмножеств ( пространствах), измеримых по отношению к ст-мере т, то алгебру 31 / Д часто называют алгеброй измеримых подмножеств пространства X по модулю множеств меры нуль.
Чтобы доказать теорему Мычельского - Сверчкоз-ского об измеримости по Лебегу, вполне достаточно проверить, что каждое множество X действительной прямой либо имеет нулевую меру, либо включает измеримое подмножество положительной меры. Это замечание по своему характеру и способу обоснования вполне аналогично замечанию, сделанному в начале доказательства теоремы Банаха - Мычельского о свойстве Бэра.
Из свойств интеграла Лебега следует, что определение объема не зависит от выбора локальных координат, а также что объем ( конечный или бесконечный) определен на кольце всех измеримых подмножеств в М и вполне аддитивен.
Z ( dk) - случайная мера на Л с некоррелированными значениями ( так что EZ ( Aj) 2 ( Д2) - О для любых двух непересекающихся измеримых подмножеств At и А2), а интеграл в правой части ( 1) можно или определить как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм Н оши ( [.]), или же понимать как более общий интеграл Лебега по мере Z ( dX) ( о к-ром см., напр.
Приведенная выше конструкция дает способ аппроксимации интеграла fi ( /) or функции /, если последняя интегрируема и обращается в нуль вне интегрируемого множества Л, причем А можно разложить на измеримые подмножества Ah, на каждом из которых колебание функции f мало.

Рассмотрим гильбертово пространство L2 ( m), являющееся пространством всех квадратично-интегрируемых функций на пространстве с мерой ( &, М, т), где % - замкнутое ограниченное подмножество трехмерного пространства, М - а-алгебра всех измеримых подмножеств SE с мерой Лебега и т - мера Лебега. Таким образом, мы можем расширить модель, описанную в разд.
К числу измеримых подмножеств метризуемого компактного пространства относятся борелевские множества - элементы сг-кольца, порожденного компактными множествами. Непустой класс множеств называется сг-кольцом, если он замкнут относительно операций симметрической разности и счетного объединения.
Легко видеть, что такая функция множества однозначно определена на всех ограниченных множествах. Тогда однозначно определяются измеримые подмножества этого шара и значения меры Лебега на них.
Если Е есть измеримое подмножество в Qs. Если F - измеримое подмножество в Rs, то тм, р ( F) - вероятность того, что множество выходных символов, перечисляемых М, есть элемент из F, когда машина М работает как р-машина.
Отметим, что мера Лебега на произвольном измеримом подмножестве в R сепарабельна. Действительно, если D - произвольное измеримое подмножество в R с мерой Лебега, то обозначим через S ( D) соответствующее пространство измеримых функций. Покажем, что S ( D) сепарабельно.
Обозначим через Gr r Lo последовательность ограниченных замкнутых измеримых подмножеств фазового пространства процесса.
Это определение - измеримой функции относится к функциям, заданным на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. Однако если речь идет о функциях, определенных на ( - измеримых подмножествах евклидова пространства К 1, то справедлива следующая теорема.
Обратная часть теоремы кодирования доказывается по существу точно так же, как и в случае конечного алфавита. Предполагается только, что допустимым кодирующим функциям, отображающим сообщения на входные сигналы, соответствуют измеримые подмножества пространства сообщений. Если не сделать этого предположения, то вообще невозможно даже определить понятие среднее искажение. Замена в соответствующих неравенствах сумм, определенных в пространстве А на интегралы, приводит к доказательству соответствующей обратной теоремы.
В силу динамики индивидуальных систем, составляющих ансамбль, приписанная различным подмножествам фазового пространства мера будет, вообще говоря, изменяться во времени. Предположим, однако, что начальное распределение изображающих точек специально подобрано так, что мера любого измеримого подмножества, расположение которого в фазовом пространстве фиксировано, остается все время одной и той же. Соответствующая мера называется инвариантной мерой для динамической системы, фигурирующей в качестве индивидуального элемента ансамбля.
Неограниченное множество назовем измеримым, если его пересечение с любым ограниченным измеримым множеством - измеримо. Мерой такого множества объявим точную верхнюю границу ( в Цо - оЗ) мер его ограниченных измеримых подмножеств.
А [ А-1 хотя бы при одном х имеет положительную меру. Иначе говоря, мы доказали, что если А - измеримое множество положительной меры, то А 1 содержит измеримое подмножество В положительной меры.
Под измеримым пространством мы подразумеваем множество, в котором задано а-кольцо ( или аддитивное семейство) подмножеств, называемых измеримыми подмножествами. Отображение такого пространства в топологическое пространство назовем измеримым, если прообраз каждого бикомпактного множества является измеримым.
Инвариантное распределение для уравнения Ван-дер - Поля при А 2. Формально плотность распределения обращается в бесконечность на цикле и равна нулю в остальных точках фазовой плоскости х, у х. На рисунке отложенная по вертикальной оси величина отвечает амплитудному множителю при дельта-функции. Обобщение, охватывающее как гладкие, так и сингулярные распределения, достигается привлечением специальной математической конструкции, меры. Меру можно рассматривать как функцию, которая ставит в соответствие подмножеству фазового пространства ( не любому, но принадлежащему к достаточно обширному классу измеримых подмножеств) некоторое неотрицательное число. Понятие меры шире, чем понятие функции распределения: любой функции распределения отвечает некоторая мера, но не всякой мере будет соответствовать разумная функция распределения.
Пусть [ А и v - меры на какой-либо о-алгебре S, такие, что конечна и v [ А. Тогда существует измеримое множество Е, обладающее следующим свойством: X - Е есть множество о-конечной меры по отношению к v и, каково бы ни было измеримое подмножество F множества Е, v ( F) равно либо 0, либо оо. X - Е устанавливается также методом исчерпывания.

Если оба слагаемых справа бесконечны, то либо i ( F - Е) [ JL ( Е) оо, либо p ( F - Е) ь ( Е) - оо, так как, согласно определению, обобщенная мера не может принимать на S и значение оо, и значение - оо; но тогда соответственно рь ( / 7) оо или [ А ( У7) - - оо. Таким образом, значение i ( F) конечно только в том случае, когда оба слагаемых в правой части последнего равенства конечны, а это означает, что всякое измеримое подмножество множества конечной обобщенной меры имеет конечную обобщенную меру.
Теперь ясно, что если для некоторой функции / ( х), заданной и почти всюду конечной на измеримом множестве Е, справедливо заключение теоремы Лузина, то для нее справедливо и заключение теоремы Фреше, а следовательно, она измерима. Таким образом, теорема VI.6.2 допускает обращение, которое можно сформулировать, например, так: если на измеримом множестве Е задана почти всюду конечная функция f ( х) и для любого е О существует такое измеримое подмножество Е сЕ, что л ( Е Е) s и что на Е функция f ( х) непрерывна, то f ( х) измерима на Е Тем самым свойство измеримых функций, установленное в теореме VI. Оно означает, что измеримые функции по своей структуре тесно связаны с непрерывными.
Атомом меры называют множество положительной меры, не представимое в виде непересекающегося объединения двух множеств с положительной мерой. Типичным примером атома является отдельная точка с положительной массой. Другим примером является несчетное множество, измеримыми подмножествами которого будут, по определению, только счетные множества и их дополнения с мерой, имеющей значения 0 или соответственно на счетных и несчетных множествах.
Пространства, которые изоморфны интервалам ( 0, а) вещественной оси ( с конечным или бесконечным а) с мерой Лебега, называются здесь пространствами Лебега. Имеется аксиоматическое определение пространств Лебега. Важным свойством пространства Лебега является то, что всякое его измеримое подмножество конечной меры также является пространством Лебега. Пространство Rn с мерой Лебега естественно является пространством Лебега и, следовательно, любое измеримое множество в Rn конечной меры есть пространство Лебега. Отсюда, в частности, следует, что для двух множеств в пространствах Rn и Rm соответственно с равными ненулевыми конечными мерами существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое, сохраняющее меру всех измеримых подмножеств.
Вместе с тем именно в пространстве информации эти функции обладают важными свойствами, позволяющими эффективно применять их при формализации задач геометрического проектирования. При этом будем полагать, что рассматриваются информации, которые индуцируют измеримые подмножества пространства R1, имеющие конечную отличную от нуля меру.
Ядро является функцией на декартовом произведении; тесно связанным с ним понятием является подъядро, являющееся сужением функции на меньшее декартово произведение. Возникает очевидный для данной ситуации вопрос, который имеет простой ответ: каждое подъядро ограниченного ядра ограничено. Для доказательства этого заметим сначала, что множество УО естественным образом является пространством с мерой: его измеримые подмножества имеют вид У0 П G, где G - измеримо в У, и мера о определена для таких множеств сужением v на них.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2019
словарь online
электро бритва
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11