Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
А- АБ АВ АГ АД АЗ АК АЛ АМ АН АП АР АС АТ АУ АФ АЦ АЭ

Арифметическое пространство

 
Арифметические пространства Аррфлетическое или координатное пространство ъ измерений - это множество С, 4 элементами которого являются всевозможные последовательности длины vt, составленные из вещественных чисел. При этом DC называют точкой пространства R. Следует подчеркнуть, что точки ос и пространства & Л считают совпадающими в том случае когда у них с.
Отображение трехмерного вещественного арифметического пространства в пространство матриц второго порядка сопоставляет вектору ( xi, Ж2, х) т матрицу 2 3 Доказать линейность и инъективность отображения.
В четырехмерном арифметическом пространстве столбцы матрицы 4зз образуют базис.
Ортогональное преобразование арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы В.
Каждая точка арифметического пространства Rra считается, по определению, упорядоченным набором из я чисел, называемых ( декартовыми) координатами этой точки.
Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства задано в стандартном базисе матрицей А.
Множество в арифметическом пространстве назовем компактным, если каждая лежащая в нем последовательность содержим подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точно этого множества. Теперь наш вывод ( уж обоснованный.
Рассмотрим n - мерное арифметическое пространство Э1п ( пространство столбцов высоты п) и прямоугольную матрицу А размеров mxn. В силу свойств умножения матриц это отображение-линейно.
Преобразование ( р арифметического пространства со стандартным скалярным произведением задано матрицей А § 27 - Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования.
Линейное подпространство S арифметического пространства со стандартным скалярным произведением образовано векторами, компоненты которых удовлетворяют однородной системе линейных уравнений.
Линейное преобразование ( р арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы матрицы В.
Линейное отображение n - мерного арифметического пространства в m - мерное арифметическое пространство задано матрицей А.
Линейное отображение n - мерного арифметического пространства в m - мерное задано матрицей А. Числа тип определяются размерами матрицы.
Линейное отображение n - мерного арифметического пространства в га-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А. Числа га и п определяются размерами матрицы.
Ах о является линейным подпространством арифметического пространства.

Наконец, любые две различные точки арифметического пространства обладают непересекающимися окрестностями.
Показать, что стандартный базис - мерного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением является ортонормированным базисом.
В частности, R - действительное - мерное арифметическое пространство.
Доказать, что существует единственное линейное отображение л-мерного арифметического пространства в m - мерное, при котором образами столбцов матрицы А являются соответствующие столбцы матрицы В.
Всякое - мерное линейное пространство изоморфно - мерному арифметическому пространству. Два пространства различной размерности не могут быть изоморфными.
Евклидово пространство R можно было бы считать арифметическим пространством, отождествив его точки с последовательностями длины п, составленными из вещественных чисел.
Аналогичным образом понижается и ограниченность последовательности в арифметическом пространстве. Ясно, мто, например, сходящаяся последовательность ограничена. Следующее утверждение, как и известный нам его одномерный вариант, называют теоремой Вольцано - Вейерштрасса.
Пусть исходный базис - ортонормированный и ф - преобразование арифметического пространства 1Р8, присоединенное к квадратичной форме поверхности, иначе говоря, преобразование ф имеет в данном базисе матрицу А. Доказать, что если дФо, то вектор q является собственным вектором преобразования ф и соответствует нулевому собственному значению.
Доказать, что существует единственное линейное преобразование n - мерного арифметического пространства, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В.
Доказать, что существует единственное линейное отображение n - мерного арифметического пространства в m - мерное, при котором образами столбцов матрицы А являются соответствующие столбцы матрицы В.
Будем считать, что объекты управления, рассматриваемые в арифметическом пространстве R, являются динамическими и в общем случае могут быть как линейными, так и нелинейными, а также как стационарными, так и нестационарными.
Геометрически это означает, что порог Л0 е Rt разбивает арифметическое пространство Rt на две части. При попадании случайной точки Л слева от точки Л0 ( Л Л0) принимается Я0 и, наоборот, при попадании Л справа от Л0 ( Л Л0) принимается Я. Здесь Л0 зависит от а, ( 3 - ошибок 1-го и 2-го рода соответственно.
Линейное отображение n - мерного арифметического пространства в m - мерное арифметическое пространство задано матрицей А.
Доказать, что любое n - мерное линейное пространство изоморфно n - мерному арифметическому пространству над тем же полем и, следовательно, все линейные пространства одинаковой размерности ( над одним и тем же полем) изоморфны.
Следовательно, касательное пространство ТР ( М) - это пространство, изоморфное всем арифметическим пространствам координат касательных векторов.

Заметим, что при строгом аналитическом подходе все геометрически очевидные факты, касающиеся областей и кривых, лежащих в двумерном арифметическом пространстве, нуждаются, вообще говоря, в чисто аналитической, не опирающейся на наглядность проверке. Подобная проверка иногда в дальнейшем будет предоставляться читателю; она всегда легко проводится для конкретных областей и кривых, встречающихся на практике, и может ( в отдельных случаях) быть более сложной для кривых и областей общего вида.
Доказать, что каждая из двух систем векторов fit, fn и gi ffn является базисом в комплексном n - мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
По той же причине к векторам оказываются применимыми все определения и теоремы, связанные с линейными комбинациями и линейной зависимостью элементов арифметического пространства. В частности, любой вектор xi, x2, жз может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов GI 1, 0 0, G2 0 1, 0, ез О, 0 1, коэффициентами которой являются координаты этого вектора. Ясно, что векторы GI, G2, ез - это единичные векторы, лежащие на осях Ох, Ох2 и Ожз - Как и прежде, будем называть их координатными векторами.
Пусть А - симметрическая ( или эрмитова) матрица порядка п, ф - линейное преобразование вещественного ( комплексного) - мерного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением, определяемое матрицей А в стандартном базисе пространства.
Пусть А-матрица линейного преобразования ф - мерного евклидова ( унитарного) пространства в ортонормированном базисе, 9tn () - вещественное ( комплексное) арифметическое пространство со стандартным скалярным произведением.
Из теорем п.п. 4 и 5 следует, что векторы, рассматриваемые как упорядоченные наборы чисел, складываются и умножаются точно также, как элементы арифметического пространства. Поэтому сложение векторов и умножение вектора на число обладают всеми теми же свойствами, что и соответствующие операции в арифметическом пространстве.
В методических указаниях по курсу Математический анализ11 обсуждаются основные вопросы, спзанные с непрерывными функциями нескольких переменных, рассматривается ряд понятий, возникающих в рамках топологической структуры арифметического пространства.
В этой главе используются следующие основные понятия: операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве, операция унитарного скалярного умножения в комплексном линейном пространстве, скалярное произведение двух векторов, линейное пространство со скалярным произведением, евклидово пространство, унитарное пространство, стандартные скалярные произведения в л-мерном вещественном ( комплексном) арифметическом пространстве Яп ( Gn) и в вещественном ( комплексном) линейном пространстве Ятхп ( CmXn) вещественных ( комплексных) матриц размеров т X п, матрица Грома системы векторов, матрица Г рама базиса, длина ( норма) вектора, нормирование вектора, угол между двумя векторами, ортогональность двух векторов, ортогональная система векторов, ортонормированная система векторов, ортонормированный базис, процесс ортогонализа-ции, биортогональные ( или взаимные) системы векторов, биортогональ-ные базисы, ортогональность вектора линейному подпространству, ортогональное дополнение линейного подпространства, ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства, ортогональность двух подпространств, ортогональная сумма подпространств, угол между вектором и подпространством, угол между двумя подпространствами.
В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство ( линейное пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство ( линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство ( вещественное и комплексное ], бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов ( линейное подпространство, натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух ( и любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух ( и любого конечного числа) подпространств.
В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство ( линейное пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство ( линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство ( вещественное и комплексное), бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов ( линейное подпространство, натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух ( и любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух ( и любого конечного числа) подпространств.
Отметим, что в случае, когда полунорма не является нормой даже такая простая функция как линейная на конечномерном линейном полунормированном пространстве может оказаться не непрерывной. Рассмотрим, например, двумерное арифметическое пространство X векторов x ( xt, xz) с полунормой 11 1 хг. Наконец, если у ( уъ z / 2) также является элементом из X, то x y ( xi - - yi, Хъ у), следовательно х УII X. Таким образом, все свойства полунормы выполнены.
Все изложенное в последних пп можно рассматривать как установление лишь некоего геометрического языка; с этим не связано ( при п 3) никаких реальных геометрических представлений. Однако полезно подчеркнуть, что на деле / 7-мерное арифметическое пространство является лишь первым шагом к тем в высшей степени плодотворным обобщениям понятия пространства, которые лежат в основе многих более высоких частей современного анализа.
Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что в атих рассуждениях, как и в топологических определениях участвующих здесь понятий, отсутствует упоминание о координатах. Иногда можно даже забыть о том, что все события у кае происходят в арифметических пространствах. В самом деле, большинство из понятий и утверждений, которые уже были или еще будут рассмотрены, непо - средственно переносятся на произвольные так называемые топологические пространства. Следует, однако, сразу же подчеркщгть что с точки зрений общей теории топологических пространств определенная выше стандартная топология арифметического пространства обладает многими специфическими свойствами и некоторые из доказываемых далее содержательных теорем являются отражением именно таких свойств.
Из теорем п.п. 4 и 5 следует, что векторы, рассматриваемые как упорядоченные наборы чисел, складываются и умножаются точно также, как элементы арифметического пространства. Поэтому сложение векторов и умножение вектора на число обладают всеми теми же свойствами, что и соответствующие операции в арифметическом пространстве.
Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что в атих рассуждениях, как и в топологических определениях участвующих здесь понятий, отсутствует упоминание о координатах. Иногда можно даже забыть о том, что все события у кае происходят в арифметических пространствах. В самом деле, большинство из понятий и утверждений, которые уже были или еще будут рассмотрены, непо - средственно переносятся на произвольные так называемые топологические пространства. Следует, однако, сразу же подчеркщгть что с точки зрений общей теории топологических пространств определенная выше стандартная топология арифметического пространства обладает многими специфическими свойствами и некоторые из доказываемых далее содержательных теорем являются отражением именно таких свойств.

В школьном курсе математики алгебра и геометрия выступают как два независимых раздела, имеющих между собой мало общего. В противоположность этому аналитическая геометрия и линейная алгебра находятся как раз на стыке этих наук, причем в первой из них превалирует геометрия, а во второй - алгебра. Образно говоря, аналитическая геометрия - это алгебраизированная геометрия, а линейная алгебра - это геометри-зированная алгебра. Связь между алгеброй и геометрией устанавливается в значительной мере на базе тех алгебраических фактов, которые изложены в первой части книги - Аппарат аналитической геометрии и линейной алгебры, посвященной действиям с матрицами, теории определителей квадратных матриц и приложениям этой теории к решению систем линейных уравнений. Важную роль в последующих рассуждениях играет также введенное на первых страницах книги понятие арифметического пространства. Указанный круг вопросов, конечно же, вплотную примыкает как к аналитической геометрии, так и к линейной алгебре, однако не является, строго говоря, предметом ни той, ни другой науки.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2019
словарь online
электро бритва
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11