Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
А- АБ АВ АГ АД АЗ АК АЛ АМ АН АП АР АС АТ АУ АФ АЦ АЭ

Аффинное преобразование - пространство

 
Аффинное преобразование пространства, состоящее в сжатии к плоскости и сжатии с обратным коэффициентом к перпендикулярной к ней плоскости, мы будем называть прямым гиперболическим поворотом пространства относительно этой пары плоскостей ] линию пересечения плоскостей мы будем называть осью гиперболического поворота.
Аффинные преобразования пространства, индуцируемые прямыми гиперболическими поворотами, мы будем называть просто гиперболическими поворотами.
Аффинное преобразование пространства, при котором каждая прямая, перпендикулярная к некоторой заданной плоскости, переносится параллельно себе как жесткое целое так, что закреп - Черт.
Аффинное преобразование пространства взаимно однозначно.
Аффинным преобразованием пространства S называется преобразование F: S - - S, действующее по формуле F ( x) xa Ах, где А - линейный оператор, х - фиксированный вектор. Доказать, что аффинное преобразование обратимо в том и только в том случае, если оператор А невырожден, и найти обратное преобразование.
Если аффинное преобразование пространства переводит какую-либо замкнутую поверхность Т в некоторую соответственную поверхность Т, то можно исследовать это преобразование одной поверхности в другую при помощи параллельных хорд, проведенных в первой поверхности по определенному направлению. Таким хордам будут соответствовать во второй поверхности также параллельные хорды, длины которых изменены в одном и том же отношении. Поэтому аффинное преобразование, переводящее поверхность Т в соответствующую ей поверхность Т, можно охарактеризовать как сжатие или растяжение в определенном направлении.
При заданном аффинном преобразовании пространства сфера единичного радиуса переходит в некоторый эллипсоид. Рассмотрим какое-нибудь разложение этого аффинного преобразования на произведение ортогонального преобразования и сжатий к трем взаимно перпендикулярным плоскостям. При ортогональном преобразовании сфера единичного радиуса перейдет в такую же сферу, последующие же сжатия преобразуют полученную сферу в указанный эллипсоид. Но согласно п 3 коэффициенты трех взаимно перпендикулярных сжатий, преобразующих сферу единичного радиуса в заданный эллипсоид, однозначно определены. Отсюда заключаем, что, независимо от того, однозначно или неоднозначно определены направления сжатий, во всяком случае, коэффициенты трех взаимно перпендикулярных сжатий, составляющих в произведении с некоторым ортогональным преобразованием заданное аффинное преобразование пространства, однозначно определены этим аффинным преобразованием.
Поэтому всякое аффинное преобразование пространства, переводящее в себя эллипсоид, можно рассматривать, как индуцированное аффинным преобразованием пространства, переводящим в себя сферу, аффинным образом которой эллипсоид является. В п 3 § 35 было доказано аналитическим способом, что аффинные преобразования, переводящие сферу в себя, суть ортогональные преобразования оставляющие ее центр на месте. Мы можем теперь получить этот результат чисто геометрическим путем. Действительно, по доказанному выше, аффинное преобразование, переводящее сферу в себя, переводит репер, образованный сопряженной тройкой радиусов сферы, в такой же репер.
Последовательное выполнение аффинных преобразований пространства является аффинным преобразованием пространства.
Основное свойство аффинного преобразования пространства формулируется следующим образом: при аффинном преобразовании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в параллельные плоскости и прямые.
Теорема 26.8. Всякое аффинное преобразование пространства Е - есть композиция п сжатий параллельно п попарно ортогональным векторам и движения.
Если коэффициенты сжатий аффинного преобразования пространства попарно различны, то направления этих сжатий однозначно определяются заданным аффинным преобразованием. Эти однозначно определенные направления сжатий такого аффинного преобразования называются главными направлениями этого преобразования.
Геометрический способ задания аффинных преобразований пространства основан на следующем утверждении: аффинное преобразование пространства определено однозначно, если заданы образы четырех точек, не лежащих на одной плоскости, и эти образы также не лежат на одной плоскости.
Теорема 27.2. При аффинном преобразовании пространства Ап ( i) любая квадрика преобразуется в квадрику.
Важно отметить, что всевозможные аффинные преобразования пространства 1п образуют группу.

Теорема 25.17. Множество всех аффинных преобразований пространства А есть группа относительно композиции преобразований.
Аналогичным образом может быть определено аффинное преобразование пространства в себя.
Покажем, наконец, что аффинное преобразование пространства в себя сохраняет простое отношение трех точек прямой.
Докажите, что множество всех аффинных преобразований пространства Е, заданных в прямоугольных координатах с помощью формул вида X kAX - - B, где А - ортогональная матрица; k - отличное от нуля действительное число, образует группу. Она называется группой подобий. Докажите, что все пары параллельных fe - мерных ( k фиксировано) плоскостей ( см. определение 25.7) эквивалентны относительно преобразований подобия.
Существенный интерес представляет тот частный случай аффинного преобразования пространства, когда неподвижные точки образуют плоскость. Уравнения ( 5) представляют собой три плоскости, причем точка их пересечения и является, очевидно, неподвижной точкой преобразования.
Таким образом, с точностью до аффинного преобразования пространства все положительно определенные эрмитовы метризации n - мерного векторного пространства совпадают друг с другом.
Последовательное выполнение аффинных преобразований пространства является аффинным преобразованием пространства.
Наконец, если все три коэффициента сжатий аффинного преобразования пространства совпадают то направлениями этих сжатий могут служить любые три взаимно перпендикулярных направления. Очевидно, в этом случае аффинное преобразование есть преобразование подобия.
Это семейство % определенное с точностью до аффинного преобразования пространства С / п, мы назовем фазовым изображением семейства 7 или ег 5 семейства 7 приведенной ( редуцированной) формой. В приведенных выше примерах ( 77 является многогранником для конечных П, лучом и 0 для семейства примера 1 и внутренностью параболы и ( i) 2 для семейства нормальных законов.
Если рассматривать ( 18) как формулы аффинного преобразования пространства А ( Г), мы получим следующую теорему.
Это означает, что в самом общем случае аффинное преобразование пространства трех измерений представляет собой совокупность поступательного перемещения, вращения и трех взаимно перпендикулярных сжатий пространства. Сжатие плоскости ( пространства) к прямой ( плоскости), называемой осью ( плоскостью) сжатия, представляет собой преобразование, при котором точка М переходит в точку М, расположенную по ту же сторону на одном и том же перпендикуляре к оси ( плоскости) сжатия, причем расстояние от оси ( плоскости) сжатия при преобразовании изменяется для всех точек в k раз, где k - положительное число.
Линейное преобразование вместе с последующим преобразованием сдвига составляют аффинное преобразование пространства Rn. Несмотря на то, что в примерах мы ограничимся преобразованиями на плоскости, то есть из R2 в R2, все результаты легко обобщаются на случай n - мерного пространства.
Как и в случае плоскости, основным инвариантом аффинного преобразования пространства служит простое отношение трех точек.
Как видно из примера сжатия пространства к плоскости, аффинное преобразование пространства Е может сохранять длины одних отрезков и изменять длины других.
В полной аналогии со случаем плоскости доказываются следующие свойства аффинных преобразований пространства.

Геометрия, занимающаяся изучением свойств фигур, инвариантных при аффинных преобразованиях пространства, называется аффинной геометрией.
Рассмотрим затем вопрос о неподвижных, или двойных, точках аффинного преобразования пространства в себя.
Каждое проективное отображение связки S на связку S можно осуществить аффинным преобразованием пространства, и притом единственным, с точностью до гомотетий.
Основное свойство аффинного преобразования пространства формулируется следующим образом: при аффинном преобразовании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в параллельные плоскости и прямые.
Геометрический способ задания аффинных преобразований пространства основан на следующем утверждении: аффинное преобразование пространства определено однозначно, если заданы образы четырех точек, не лежащих на одной плоскости, и эти образы также не лежат на одной плоскости.
Доказательство вытекает из теоремы 27.4 и того факта, что при аффинном преобразовании пространства А ( С) действительные точки переходят в действительные, а мнимые - в мнимые.
Математическая наука, изучающая свойства геометрических образов, остающиеся неизменными ( инвариантными) при аффинных преобразованиях пространства, к числу которых относится и родственное соответствие.
Отметим затем, что свойство взаимопр инадлежности точки и плоскости также не нарушается в аффинном преобразовании пространства. В самом деле, если точка М ( х, у, г) лежит на плоскости ( 3), то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. В таком случае очевидно, что координаты соответственной точки М ( х, у, z) будут удовлетворять уравнению ( 4) плоскости, соответственной плоскости ( 3) в рассматриваемом аффинном преобразовании.
Поэтому всякое аффинное преобразование пространства, переводящее в себя эллипсоид, можно рассматривать, как индуцированное аффинным преобразованием пространства, переводящим в себя сферу, аффинным образом которой эллипсоид является. В п 3 § 35 было доказано аналитическим способом, что аффинные преобразования, переводящие сферу в себя, суть ортогональные преобразования оставляющие ее центр на месте. Мы можем теперь получить этот результат чисто геометрическим путем. Действительно, по доказанному выше, аффинное преобразование, переводящее сферу в себя, переводит репер, образованный сопряженной тройкой радиусов сферы, в такой же репер.
Заметим, что из аналогичных соображений следует сохранение параллельности двух плоскостей, двух прямых и прямой с плоскостью при аффинном преобразовании пространства в себя.
Таким образом, комбинируя параболические и эллиптические повороты, преобразующие параболоид вращения ( 1) в себя, мы получим аффинные преобразования пространства, при которых точки этого параболоида передвигаются по нему так, что ортогональные проекции их на плоскость ху испытывают в этой плоскости какое угодно движение.
При этом, как и в теореме III, мьв считаем одинаковыми группы, если они изоморфны или, что одно и то же, переводятся друг в друга аффинным преобразованием пространства. Это происходит от того, что одинаковыми считаются лишь группы, переводящиеся друг в друга преобразованием, сохраняющим ориентацию пространства. Для случая плоскости оба понятия одинаковости приводят к одной и той же классификации.
Сз в векторы Cj, Co, е Следовательно, Иг есть произведение рассмотренного выше преобразования I на гомотетию к центру S с коэффициентом X. Таким образом, два аффинных преобразования пространства, порождающих одно и то же проективное отображение связки 5 на связку 5Г, отличаются друг от друга лишь гомотетией к центру одной из этих связок.
Система линейных уравнений ( 5) имеет в общем случае одно решение. Следовательно, в этом предположении аффинное преобразование пространства в себя имеет лишь одну неподвижную точку.
Аффинные преобразования, переводящие эллипсоид в себя. Покажем, прежде всего, что аффинные преобразования пространства переводящие эллипсоид в себя суть те и только те, которые переводят реперt образованный любой сопряженной тройкой радиусов эллипсоида, в такой же репер.

В нек-рых случаях слово тензор имеет более общее значение. Умножение аффинора Ф на радиус-вектор г создает аффинное преобразование пространства, при котором все параллельные прямые остаются после преобразования тоже параллельными прямыми.
Если в аффинном пространстве введены однородные координаты, то, как нетрудно проверить, любое аффинное преобразование задается формулами вида ( 4) § 1 и любое преобразование вида ( 4) § 1 с невырожденной матрицей коэффициентов является аффинным. Если сравнить формулы ( 4) § 1 с формулами ( 1) настоящего параграфа, то будет ясно, что аффинные преобразования пространства Д можно считать частным случаем проективных преобразований в пополненном аффинном пространстве, то есть в Рп. Именно, аффинными можно считать все преобразования вида ( 1), которые сохраняют бесконечно удаленные точки в качестве бесконечно удаленных.
При этом преобразовании квадрика Ф как множество всех точек пространства, координаты которых в репере ( 4) удовлетворяют уравнению ( 1), перейдет в квадрику Ф, состоящую из всех точек, координаты которых в репере ( 5) удовлетворяют тому же уравнению. Приведенное рассуждение применимо к любым двум квадрикам, которые в подходящих реперах задаются одним и тем же из нормальных уравнений ( 1) - ( 3) ( при одних и тех же г и / г): для таких квадрик существует аффинное преобразование пространства A ( i), переводящее одну из них в другую.
Очевидно, главные диаметральные плоскости параболоида служат его плоскостями симметрии. Покажем, что никаких других плоскостей симметрии параболоид не имеет. Действительно, отражение в плоскости симметрии параболоида есть аффинное преобразование пространства, переводящее этот параболоид в себя. Поэтому оно преобразует все прямые, параллельные особому направлению, снова в такие же прямые. Отсюда следует, что всякая плоскость симметрии параболоида должна быть либо параллельна его особому направлению, либо перпендикулярна к этому направлению. Но плоскость симметрии параболоида не может быть перпендикулярной к его особому направлению, так как иначе она служила бы плоскостью симметрии для парабол, по которым параболоид пересекается плоскостями, параллельными особому направлению, и, значит, должна была бы проходить через оси этих парабол, тогда как, в силу предположения, она к этим осям перпендикулярна. Таким образом, плоскость симметрии параболоида должна быть параллельна его особому направлению.
Всякая плоскость либо вовсе не имеет общих точек с данной сферой, либо имеет с этой сферой только одну общую точку, либо пересекает сферу по окружности. Отсюда следует, что всякая плоскость либо вовсе не пересекает данный эллипсоид, либо имеет с ним только одну общую точку, либо пересекает его по эллипсу. Так как при этом все окружности подобны, а при аффинном преобразовании пространства отображения, претерпеваемые параллельными плоскостями, совпадают с точностью до параллельного переноса, то получаем, что сечения эллипсоида параллельными плоскостями суть подобные параллельно расположенные эллипсы ( черт. Поэтому и геометрическое место центров эллипсов, получаемых при пересечении эллипсоида параллельными плоскостями, есть хорда эллипсоида, проходящая через его центр ( черт. Эта хорда, как и вся содержащая ее прямая, называется диаметром эллипсоида, соответствующим секущим плоскостям данного наклона. Всякая хорда эллипсоида, проходящая через его центр, есть диаметр, соответствующий секущим плоскостям некоторого наклона, так как это верно для сферы. Только у сферы секущие плоскости перпендикулярны к соответствующему им диаметру, а у произвольного эллипсоида, вообще говоря, не перпендикулярны.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11