Большая техническая энциклопедия
2 7
A V W
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ПА ПЕ ПИ ПЛ ПН ПО ПР ПС ПУ ПШ ПЫ ПЬ ПЯ

Парное уравнение

 
Парные уравнения (1.16) и (1.21) удобно проинтегрировать по и в пределах от и до оо. Это связано со сравнительной простотой интегральных представлений функций F1 ( s, - и), возникающих при интегрировании.
Рассмотрим теперь парное уравнение ( 8) при т О.
Развитию теории классических парных уравнений послужили работы Б. Л. Абрамяна [1], где исследовались интегральные уравнения, содержащие функции Бесселя, и А. А. Баблояна и В. С. Макаряна [2], где рассмотрены уравнения, содержащие комбинации тригонометрических и показательной функций.
Ниже приведем некоторые парные уравнения, которые встречаются в задачах механики и физики, и связанные с ними уравнения Фредгольма второго рода.
Обычными в теории парных уравнений приемами они могут быть сведены к уравнению Фредгольма II рода, а в отдельных случаях - решены явно.
Классическая для метода парных уравнений проблема - задача Рейсснера-Сагоци о кручении упругого полупространства жестким дискообразным штампом - за последние пять десятилетий была обобщена в различных направлениях. Подробный обзор публикаций, связанных со статическими аналогами этой проблемы может быть найден в работе Глад-велла и Лемчика [43], посвященной, в первую очередь, задаче о кручении упругого цилиндра конечной высоты спаянным с ним круговым штампом.
Естественным обобщением метода парных уравнений является распространение методики на случай большей, чем вторая, кратности интегральных или сумматорных уравнений.
В этой главе рассматриваются континуальные и дискретные парные уравнения в свертках и транспонированные к ним. В этот класс уравнений попадают, в частности, сингулярные интегральные уравнения на окружности и уравнения граничных задач для функций комплексной переменной.
О решении одного класса парных уравнений / / Докл.
Построенное таким образом решение парных уравнений (8.7), (8.8) является приближенным и зависит от числа N. Очевидно, с увеличением N это приближенное решение может быть сделано сколь угодно близким к точному.
О решении одного класса парных уравнений / / Докл.
Зависимость К от волнового числа ka. Построенное таким образом решение парных уравнений (8.7), (8.8) является приближенным и зависит от числа N. Очевидно, с увеличением N это приближенное решение может быть сделано сколь угодно близким к точному.
О решении одного класса парных уравнений / / Докл.
В работе Д. А. Пожарского [31] метод парных уравнений использован для решения задачи о действии полосового штампа на упругий пространственный клин.

В § 32 развивается теория парных уравнений в спаренных пространствах, включая теорию сопряженных уравнений и соответствующие формулы Грина.
Помимо разобранных специальных приемов для решения парных уравнений, широко используется аппарат теории аналитических функций.
Надо сказать, что способы решения парных уравнений обычно излагаются так, что зачастую решение представляется скорее угаданным, чем найденным регулярными приемами.
Помимо разобранных специальных приемов для решения парных уравнений, широко используется аппарат теории аналитических функций.
Перечисленные результаты естественным образом прилагаются к различным дискретным и континуальным парным уравнениям Винера - Хопфа.
Наметившаяся в последние десятилетия тенденция позволяет называть методом парных уравнений такие схемы решения смешанных задач, при использовании которых парные уравнения сводятся в итоге к регулярным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно некоторой вспомогательной функции.
Интегральные уравнения этих задач сводятся при помощи метода парных уравнений к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Приводится следующий численный пример.
В заключение, укажем на обзорные работы, посвященные методу парных уравнений. Они принадлежат авторам, внесшим большой вклад в развитие и популяризацию метода.
Взвешенные разностные методы не требуют предварительного разделения уравнений и используются как для парных уравнений ( VII, 20), так и для единственного уравнения ( VII, 22), а также для моделей частиц катализатора.
С помощью специально выведенного им интегрального представления М. А. Мартыненко [25] в рамках метода парных уравнений получил несколько более удобное, чем известное ранее [37], не требующее введения вспомогательных констант решение парных сумматорных уравнений по присоединенным функциям Лежандра первого рода и целого порядка.
В следующих двух главах излагаются теория и проекционные методы решения для различных классов парных уравнений в свертках. Сюда относятся, в частности, и некоторые сингулярные интегральные уравнения на окружности.
Одним из эффективных методов аналитического решения смешанных ( контактных) задач теории упругости является метод парных уравнений.
Для случая гильбертова пространства Z / 2 установим Применимость метода Галеркина по одной специальной Системе функций к парному уравнению и к транспонированному уравнению.
Наметившаяся в последние десятилетия тенденция позволяет называть методом парных уравнений такие схемы решения смешанных задач, при использовании которых парные уравнения сводятся в итоге к регулярным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно некоторой вспомогательной функции.
Приведенные рассуждения, конечно, не являются строгими, однако они показывают, что, по существу, на первом этапе парные уравнения преобразуются в сингулярное интегральное уравнение в скрытом виде, которое затем либо решается явно, либо, как в данном случае, регуляризуется и сводится к уравнению Фред-гольма.

Первые два и четвертый параграфы носят вспомогательный характер В § 3 рассматриваются сингулярные интегральные операторы с непрерывными коэффициентами, а в § 5 - с кусочно-непрерывными коэффициентами. В последнем параграфе исследуются парные уравнения, В этом параграфе приводится основная теорема.
В результате решения было получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, удобное для построения коротковолновой асимптотики. Математическое обоснование используемых в подобных парных уравнениях подстановок, в частности, вопросы существования и единственности решения парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Фурье, было дано А. С. Зильберглейтом в упомянутой выше работе.
В работе [81] рассмотрена задача цилиндрического изгиба бесконечной пластины периодической системой жестких штампов с круговой формой основания. Решение строится в тригонометрических ридах и сведено к парным уравнениям, которые решаются численно. Показано, что по мере уменьшения параметра dfl ( d - толщина пластины; / - расстояние между соседними штампами) и увеличения all ( la - длина зоны контакта) реакция все больше концентрируется у границ зоны контакта. Эта же задача описана в статье [24] и воспроизведена в разд. Решение строилось с помощью функции Грина и сведено к интегральному уравнению с периодическим логарифмическим ядром. Последнее путем обращения интеграла с логарифмическим ядром сведено к уравнению Фредгольма второго рода, которое решалось численно. В отличие от работы [81] в статье [24] посчитаны изгибиые напряжения в пластине яод штампом и показано, что они очень мало отличаются от напряжений, вычисленных при решении задачи иа основе теории пластин С. Жермеи-Лаграижа - Кирхгофа как без учета, так н с учетом поперечного обжатии. С этой точки зре - яия использование теории пластин С. Жермеи-Лаграижа - Кирхгофа и теории типа С. П. Тимошенко в контактных задачах вполне допустимо.
В работе А. Н. Златина [12], посвященной периодической задаче о дискообразных трещинах в цилиндре, рассмотрены сумматорные уравнения по однородным решениям, оставляющим цилиндрическую поверхность свободной от напряжений. Особенность проблемы заключается в том, что к парным уравнениям, отвечающим за смешанные граничные условия на торце, добавляется еще дополнительное сумматорное уравнение, выражающее условие отсутствия на торце цилиндра касательных напряжений; кроме того, сами однородные решения не являются ортогональными.
Таким образом решение парных рядов-уравнений (1.1) сводится к решению систем бесконечных линейных алгебраических уравнений (1.6) - (1.8) с сингулярной матрицей коэффициентов. Заметим, что в работах [50-53] и др. использован другой подход сведения отдельных интегральных уравнений, эквивалентных парным уравнениям типа (1.1), к системам линейных алгебраических уравнений такого же вида.
Большое внимание в монографии уделено разработке новых и развитию известных аналитических и численно-аналитических методов перечисленных выше задач. Основными из них являются: 1) метод сведения парных интегральных уравнений ( ИУ) и парных рядов-уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений ( БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей; специальный способ решения этих систем; 2) метод однородных решений применительно к телам конечных размеров канонической и неканонической формы; 3) метод сведения парных интегральных уравнений к ИУ 1-го и 2-го рода с разностным ядром; 4) метод больших А, построение всех членов разложения с помощью алгебраических рекуррентных соотношений; 5) метод малых А построения решения парных уравнений; 6) метод переходных операторов построения решения задач о возбуждении и распространении колебаний в волноводах периодической структуры.
Известно, что проблемы, связанные с колебаниями штампов на упругих телах, сложнее соответствующих статических задач, а также родственных задач теории колебаний электромагнитных волн. Причины этого, в частности, кроются в наличии двух независимых скоростей распространения упругих волн и в более сложной форме записи граничных условий. Однако, несмотря на эти трудности, с помощью метода парных уравнений оказывается возможным построить эффективное решение задач о вертикальных колебаниях гладкого жесткого штампа, лежащего на полуплоскости и полупространстве.
Отметим, что методы, развитые Л. А. Вайнштейном [1, 3, 4, 5], Карпом [1] и Клеммовым [1], по существу сходны с только что изложенным методом. Все эти методы сходны в том отношении, что в каждом из них отправным пунктом служат парные интегральные уравнения, полученные либо после разделения переменных, либо из интегрального уравнения, либо из физических соображений. Далее, вместо сведения к задаче Гильберта или задаче Винера - Хопфа, эти парные уравнения решаются непосредственно функционально-теоретическими методами, основанными на изучении областей регулярности и особых точек подинтегральных выражений - Лравые части уравнений авторы берут не в общем виде, а выписывают явно, что позволяет найти полюсы неизвестных функций, как это было сделано в разобранном примере. Методы Вайнштейна, Карпа и Клеммова удобно использовать в некоторых частных случаях, когда они дают изящное решение задачи без сведения ее к задаче Гильберта или к задаче Винера - Хопфа, однако они существенно не отличаются от методов, использованных в этой книге, и мы не будем рассматривать их более детально.
В настоящей главе метод сведения задачи теории упругости к обобщенной по И. Н. Векуа краевой задаче Гильберта [1] распространяется на смешанную пространственную задачу для усеченного шара, сферическая поверхность которого жестко защемлена, а на срезе заданы нормальные напряжения, а также на аналогичную задачу для полупространства со сферической выемкой или выступом. Системы функциональных уравнений этих задач преобразуются к системам сингулярных интегральных уравнений. Затем рассматриваются контактные задачи о вдавливании кругового в плане штампа в срез усеченного шара или кольцевого штампа в плоскую часть поверхности полупространства, интегральные уравнения которых в предположении геометрической симметрии области контакта сводятся при помощи метода парных уравнений к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11