Большая техническая энциклопедия
2 7
A V W
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
А- АБ АВ АГ АД АЗ АК АЛ АМ АН АП АР АС АТ АУ АФ АЦ АЭ

А-модуль

 
А-модуль М, являющийся одновременно артино-вым и нетеровым, неразложим в том и только том случае, когда алгебра ЕА ( М) локальна.
А-модулей, в которой композиция двух идущих подряд отображений тривиальна.
А-модуля В f то переходит в элемент р, соответствующий этой образующей.
А-модуля, такое, что для любого a G А - 0 выполнено deg ( j) ( a) - Тривиальный случай d 0, соответствующий гомоморфизму ф ( а) г ( а), мы исключаем из рассмотрения.
А-модуля на некоторый А - модуль индуцируется полулинейным преобразованием. Этот результат обобщает известные результаты Бэра.
А-модуля Л равносильна тому, что Е ( А) - тело; д) если Л - конечномерен ( [40], стр.
Свободным А-модулем называется прямая сумма нескольких экземпляров модулей, изоморфных А. Если единицу t - ro экземпляра обозначить Xi, то любой элемент свободного модуля есть линейная комбинация элементов вида SA: ( звездочки опуще-ны), причем такое представление однозначно с точностью до нулевых слагаемых. Обладая понятием свободного модуля, мы естественно вводим понятие модуля, заданного образующими: и соотношениями 0, где и - - какие-то элементы свободного модуля, как фактор по наименьшему подмодулю, их содержащему. Легко видеть, что, так как любой модуль есть фактор свободного, то он может быть задан обра-зующими и соотношениями.
Тогда любой А-модуль является полупростым. Кроме того, простые А-модубил изоморфны минимальным правым идеалам алгебры А, и, наоборот, все минимальные правые идеалы алгебры А являются простыми А-модулями.
Образующие свободного А-модуля находятся с ними во взаимно-однозначном соответствии.
Следствие 1.3. Регулярный А-модуль прост тогда и только тогда, когда алгебра А есть тело.
Лемма 3.2. А-модули BI стабильно свободны.
Следствие 7.5. Проективные А-модули ранга не меньше двух свободны.
Предположим, что А-модуль М является артиновым и нетеровым.
В частности, простые А-модули находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми компонентами алгебры А.
Если Р - свободный А-модуль, то он проекти-вен.

Пусть М - такой А-модуль, что решетка S ( M) не является дистрибутивной. Тогда в М существуют такие различные подмодули Р и Q, что фактормодули Р / Р - Q и.
Пусть М - некоторый А-модуль, являющийся либо артиновым, либо нетеровым. Тогда он представляется в виде прямой суммы неразложимых А-модулей.
Пусть N - такой А-модуль, что алгебра эндоморфизмов ЕА ( N) локальна. Тогда модуль N неразложим.
Пусть М - некоторый А-модуль, являющийся одновременно артиновым и нетеровым.
Имеет место следующее утверждение: А-модуль Р тогда и только тогда проективен, когда он является прямым слагаемым некоторого свободного А-модуля.
Если U и V - простые А-модули, то всякий ненулевой гомоморфизм f: if - - V есть изоморфизм.
Пусть А - кольцо, А-модуль V разложен в прямую сумму подмодулей V С / 0 W, ( p U - W - гомоморфизм А-модулей.
В этом случае V называется мальцевским А-модулем.
В этом случае V называется мальцевским А-модулем. Ввиду антикоммутативности понятие мальцевского модуля эквивалентно понятию бимодуля: достаточно положить аи - va ( аеЛ, ое.
Пусть N и Р - некоторые А-модули, причем модуль Р проективен, а 9: N - Р - сюръективный гомоморфизм.
Лемма 2.3. Пусть W - такой неразложимый А-модуль, что всякий А-модуль М имеет вид MI ф kW, где Mi - модуль над некоторой собственной факторалгеброй В алгебры А.
В этом случае пространство V называется лиевым А-модулем. Конечномерная алгебра Ли L над полем F характеристики 0 полупроста тогда и только тогда, когда любой конечномерный ( лиев) L-модуль вполне приводим ( теорема Вейля - см. [17], с. Если L разрешима и F F, то всякий неприводимый конечномерный L-модуль одномерен ( [28], с.
В этом случае пространство V называется лиевым А-модулем. Конечномерная алгебра Ли L над полем F характеристики 0 полупроста тогда и только тогда, когда любой конечномерный ( лиев) L-модуль вполне приводим ( теорема Вейля - см. [17], с. Если L разрешима и F - F, то всякий неприводимый конечномерный L-мо-дуль одномерен ( [28], с.
Алгебра А называется примитивной, если существует точный простой А-модуль. Идеал К алгебры А называется примитивным, если факторалгебра А / К примитивна.
Прямые произведения и прямые суммы в категории А-модулей существуют.

Пусть А - нетерово кольцо и М - конечна порожденный А-модуль, Тогда М нетеров.
Пусть А - полупростая конечномерная алгебра над С и А-модуль V есть прямая сумма двух изоморфных неприводимых А-модулей.
Если алгебра А полупроста, то число классов изоморфизма простых А-модулей конечно.
Пусть А - поле, SR - ( правый) А-модуль и 91 -некоторый подмодуль.
Лемма 2.3. Пусть W - такой неразложимый А-модуль, что всякий А-модуль М имеет вид MI ф kW, где Mi - модуль над некоторой собственной факторалгеброй В алгебры А.
Пусть А - полупростая конечномерная алгебра над С и V - А-модуль, конечномерный над С. Доказать, что V имеет конечное число А-подмодулей тогда и только тогда, когда он является прямой суммой попарно неизоморфных неприводимых А-модулей.
Если А - алгебра Хопфа, В и С - два А-модуля, то их тензорное произведение, как векторное пространство над Я также является А-модулем ( это тензорное произведение является, очевидно, А л / - модулем.
Лемма 7.2. Если алгебра А наследственна, то любой ненулевой гомоморфизм главных А-модулей f: Pt - Р; есть мономорфизм.
Предложение 1.3. Предположим, что радикал любого главного правого ( левого) А-модуля содержит ровно один максимальный подмодуль. Тогда всякий главный правый ( левый) А-модуль цепной.
В частности, для любого спектра Е группа ( Е) является а-модулем.
End А х А в А наделяет, очевидно, А структурой End А-модуля.
Если ML NL как А - модули, то М - - N как А-модули.
Пусть А - артинова ( слева или справа) алгебра и М - органов А-модуль.
Еще важное свойство 75 йг: TOY 7J / V) Z0 ЛРЛ если А-модуль Т проективен. Доказательство двух последних утверждений мы оставляем читателю.
Доказать, что если А - конечномерная F-алгебра, а М - такой конечно порожденный А-модуль, что фактормодуль M / MJ ( A) прост, то модуль М неразложим. Показать, что существует такой гомоморфизм 6 из Ед ( М) в EA ( M / MJ ( A), что ядро Кег 6 состоит из нильпотентных элементов.

Пусть А - полупростая конечномерная алгебра над С и А-модуль V есть прямая сумма двух изоморфных неприводимых А-модулей.
Рассмотрим ациклический цепной комплекс С длины т над А, цепные группы в котором являются базированными свободными А-модулями конечного ранга. Предположим сначала, что все модули В / Imd / свободны. Поскольку модули Ал и А5 неизоморфны при г 5, мощности базисов с / и ft / ft / i равны, т.е. матрица ( bibi - / Ci) квадратная.
Мы продолжаем предполагать, что А - коммутативное кольцо и что модули ( соответственно гомоморфизмы) - это А-модули ( соответственно А-гомоморфизмы, если не оговорено противное.
Пусть А - некоторая алгебра, а М, N и Р - ( правые или левые) А-модули, причем модуль Р проективен.
Мы продолжаем предполагать, что А - коммутативное кольцо и что модули ( соответственно гомоморфизмы) - это А-модули ( соответственно А-гомоморфизмы), если не оговорено противное.
 
Loading...
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2017
словарь online
электро бритва
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11