Большая техническая энциклопедия
2 4 7
D L N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ХА ХИ ХЛ ХО ХР

Характеристический корень - матрица

 
Характеристические корни матрицы PTSP такие же, как и матрицы S, так как матрица Р ортогональная.
Характеристические корни матрицы G - чисто мнимые.
Обозначим характеристические корни матрицы А через ЯА.
Пусть - характеристический корень матрицы R, а числа Яа /, /; 1, не являются характеристическими корнями.
Условие, что характеристические корни матрицы А имеют отрицательные действительные части, обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального решения для линейной системы у - Ау. Доказательство теоремы 1.1. Решение р системы (1.1), для которого js ( 0) мало, может быть продолжено для возрастающих t, если только величина р ( /) остается малой.
Предположим, что характеристические корни матрицы А различны и ни один из них не является чисто мнимым.
Далее, каждый характеристический корень матрицы ехр а имеет вид ехр А, где А-характеристический корень матрицы а, и потому вещественен ( предложение 2 § II, стр. Таким образом, ехр а есть положительно определенная матрица.
Предположим, что среди характеристических корней матрицы В имеется один действительный ( - рп), РЛ ] 0, а остальные - с отрицательными вещественными частями.
Теорема 1.2. Пусть хотя бы один характеристический корень матрицы А в (1.1) имеет положительную действительную часть. Тогда решение у 0 системы (1.1) неустойчиво.
А, коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни матрицы А, взятые с их кратно-стями.
Поскольку С ( 0) Еп, то характеристические корни матрицы С ( 2л) - С являются характеристическими показателями.
Теорема 4.1. Пусть выполнены высказанные предположения и пусть k характеристических корней матрицы А имеют отрицательные действительные части, а п - k - положительные действительные части. Если функция / аналитична по х для каждого t 0 и малых.
Пусть а 0 выбрано так, что действительные части характеристических корней матрицы Вг меньше.
При этом на главной диагонали полученной диагональной матрицы будут расположены характеристические корни матрицы А, взятые с их кратностями.
А, на главной диагонали полученной диагональной матрицы будут стоять характеристические корни матрицы А, взятые с их кратносгпями.

Пусть условия теоремы 4.1 видоизменены так, что n - k характеристических корней матрицы А, имевших положительные действительные части-имеют теперь неотрицательные действительные части. Показать, что заключения, теоремы 4.1 остаются в силе со следующим изменением: не существует решений р, не лежащих при t 1В на многообразии S и удовлетворяющих неравенствам МО.
Известна еще классическая теорема о структуре конечной матрицы Л, заключающаяся в том, что если характеристические корни матрицы Л различные, то Л может быть выражена через эти корни и определенные идемпотентные матрицы, связанные с А.
Теорема 1.1. Для того чтобы начало было устойчиво для системы (1.1), необходимой достаточно, чтобы характеристические корни действительной неособой матрицы коэффициентов А имели отрицательные или нуле-зые действительные части.
Ясно, что числа а) можно выбрать в К так, чтобы определитель X был равен 1 и чтобы одновременно все характеристические корни матрицы X были простыми.
Условие, что все решения уравнения х - Ах стремятся к нулю при / - - - - оо, эквивалентно условию, что все характеристические корни матрицы А имеют отрицательные действительные части.
В самом деле, если матрица А подобна жорданозои матрице /, то эти две матрицы обладают одними и теми же характеристическими корнями. Характеристические корни матрицы J находятся, однако, без всяких затруднений: так как определитель матрицы / - КЕ равен произведению ее элементов, стоящих на глазной диагонали, то многочлен ] J - Е разлагается над полем Р на линейные множители и его корнями служат числа, стоящие на глазной диагонали матрицы J, и только они.
Принимая во внимание, что целая положительная степень матрицы уже была определена, можно определить полином / ( Л) от матрицы А в самоассоциативном поле. В теории конечных матриц важную роль играют характеристические корни матрицы.
Но из теории матриц известно, что характеристический полином матрицы А имеет корнями А - е степени корней характеристического полинома матрицы А. Таким образом из равенств (7.8) следует, что все суммы степеней характеристических корней матрицы А равны нулю.
Докажем, что оно является топологическим. Так как JA O ( 1 / / г), то числа logjj при неограниченном возрастании р остаются ограниченными. Это означает, что остаются ограниченными характеристические корни матрицы а, определяемой условием еярарфр. Для каждого р существует унитарная матрица о такая, что а - 1 8 есть диагональная матрица; диагональными коэффициентами матрицы 8 служат характеристические корни матрицы ар. Поэтому и коэффициенты матриц ар остаются ограниченными, так что последовательность otj... Так как taj ap, тотакже а а, и матрица а - эрмитова.
Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно, матрица А, определяет однозначно все связанные с R величины, инвариантные относительно подобных преобразований. Обозначим эти корни через А. Характеристические корни матрицы R называются характеристическими показателями.
Докажем, что оно является топологическим. Так как JA O ( 1 / / г), то числа logjj при неограниченном возрастании р остаются ограниченными. Это означает, что остаются ограниченными характеристические корни матрицы а, определяемой условием еярарфр. Для каждого р существует унитарная матрица о такая, что а - 1 8 есть диагональная матрица; диагональными коэффициентами матрицы 8 служат характеристические корни матрицы ар. Поэтому и коэффициенты матриц ар остаются ограниченными, так что последовательность otj... Так как taj ap, тотакже а а, и матрица а - эрмитова.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11