Большая техническая энциклопедия
2 4 7
D L N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
СА СБ СВ СГ СД СЕ СЖ СИ СК СЛ СМ СН СО СП СР СТ СУ СФ СХ СЦ СЧ СШ СЪ СЫ СЭ СЮ

Семейство - случайная величина

 
Семейство случайных величин ( Xfe) независимо.
Семейство случайных величин, индексом которого служит временной параметр /, называется случайным ( или стохастическим) процессом. Xt: ( И, s, P) - ( R, Щ, называется случайным процессом ( или случайной функцией) с множеством 0 допустимых значений индекса / и множеством состояний R. В дальнейшем индексным параметром будет время и индексным множеством 8 будет либо вещественная прямая R, либо ( если процесс начинается с t 0) неотрицательная полупрямая. Заметим, что случайная величина, как уже говорилось, есть функция, отображающая пространство элементарных событий в вещественные числа. Если мы зафиксируем первый аргумент, время, и разрешим со принимать любые значения из пространства элементарных событий, то, по определению, Х / ( -) - случайная величина.
Семейство случайных величин ( Ха аеЛ называется независимым в совокупности), если семейство a [ Xa ] aeA независимо в совокупности. Семейство случайных величин Xat ct е - Л называется мезя-яисимым от а-поля & -, если a [ Xa: сс Л ] и независимы и совокупности.
Семейство случайных величин - Xj, t Е Э с R образует случайный процесс ( СП), где t называется параметром СП, а 9 - параметрическим множеством. СП называется СП с дискретным временем. Если 9 - интервал на числовой оси, то СП называется СП с непрерывным временем. UQ) как функция параметра t называется реализацией ( траекторией) СП. Значение x ( t) при фиксированном t - t x - x ( i) называется выборочным значением или просто значением СП. Множество выборочных значений х &, tfc G Т С 9 называется временным рядом.
Тогда семейство случайных величин л л1 является равномерно интегрируемым.
Если семейство случайных величин Х равномерно интегрируемо ( в частности, если с вероятностью единица Х С.
Случайной функцией называется семейство случайных величин, зависящее от одного или нескольких параметров.
Случайным процессом называют семейство случайных величин, зависящих от времени, которые изменяются в процессе опыта.
Докажите, что семейство случайных величин W ( r / п), п G N является равномерно интегрируемым.
Однако возможны и другие случаи канонически устойчивых семейств случайных величин.
В главе I случайная функция была определена как семейство случайных величин, зависящих от параметра. Аксиоматика теории вероятностей непосредственно подсказывает, что под случайной функцией естественно понимать произвольное семейство случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве.
Mg оо тогда и только тогда, когда семейство случайных величин % п п равномерно интегрируемо.
Эта модель применительно к сложной водохозяйственной системе представляет собой семейство случайных величин Q /, принимающих только действительные и положительные значения, где t пробегает множество целых чисел.
Расходы воды, притекающей к каждому водохранилищу, составляют указанное выше семейство случайных величин и рассматриваются как случайный вектор, компоненты которого стохастически связаны в силу некоторой общности ландшафтных и климатических условий стокообразования. Однако эти компоненты не подчинены никаким дополнительным условиям в виде неравенства Qi Qa - - Qn, так как в построениях используются не расходы воды в створе реки, а боковые притоки между створами.
Случайную ф-цию можно рассматривать как однопараметрическое - с параметром / - семейство случайных величин.

Пусть X ( Х, еГ) - субмартингал, для которого семейство случайных величин Х равномерно интегрируемо.
Пусть Х - ( Х, ) - субмартингал, для которого семейство случайных величин [ Хп ] равномерно интегрируемо.
Определение 1.21. Случайной последовательностью в измеримом пространстве ( Г, 9) называется семейство случайных величин, которые заданы на одном и том же пространстве Лебега, принимают значения из Г и заиндексированы целыми числами, лробегающими некоторое подмножество множества всех целых чисел.
Пусть X - ( Хп, eFn) - субмартингал, для которого семейство случайных величин Хп равномерно интегрируемо.
Дать общую формулировку свойства асимптотической эквивалентности неравновероятных возможностей равновероятным помогает понятие энтропийной устойчивости семейства случайных величин.
Конечные семейства случайных величин ( случайная величина, случайный вектор) могут рассматриваться как частный случай произвольных семейств случайных величин. Если Т содержит лишь одну точку, С - случайная величина, а если множество Т конечно, С - конечномерный случайный вектор. Более сложный случай, когда Т - множество целых чисел, приводит к понятию бесконечномерного случайного вектора или, как говорят, случайного процесса с дискретным параметром - временем. И, наконец, если Т - интервал действительной оси, то семейство случайных величин называют случайным процессом с непрерывным параметром - временем. Ее принято называть реализацией, или выборочной функцией.
Теорема 1.12. Если пределы (1.5.10) существуют и конечны и первый из них отличен от нуля, то семейство случайных величин энтропийно устойчиво.
В заключение этого параграфа вычислим дисперсию энтропии, которую полезно знать при исследовании вопроса об энтропийной устойчивости ( см. § 1.5) семейства гауссовых случайных величин.
Начиная с 20 - 30 годов в теории вероятностей бурно развивается один из ее новых разделов - теория случайных процессов, занимающаяся изучением семейств случайных величин, эволюционирующих во времени. Была создана теория марковских процессов, теория стационарных процессов, теория мартингалов, теория предельных теорем для случайных процессов.
Начиная с 20 - 30 годов в теории вероятностей бурно развивается один из ее новых разделов - теория случайных процессов, занимающаяся изучением семейств случайных величин, эволюционирующих во времени. Была создана теория марковских процессов, теория стационарных процессов, теория мартингалов, теория предельных теорем для случайных процессов. К недавнему времени относится возникновение теории информации.
Семейство случайных величин ( Ха аеЛ называется независимым в совокупности), если семейство a [ Xa ] aeA независимо в совокупности. Семейство случайных величин Xat ct е - Л называется мезя-яисимым от а-поля & -, если a [ Xa: сс Л ] и независимы и совокупности.
Пусть семейство случайных величин Щп п 1 равномерно интегрируемо и Mlim rt существует.
Мартингалом называют семейство случайных величин % ( t), t T ( T-множество действительных чисел), обладающих некоторым безразличием к прошлому. Это безразличие состоит в том, что условные математические ожидания приращений () - ( Л) ( i t2) при заданных значениях ( s), s t, независимо от этих значений равны нулю.
Преобразования 6S измеримы на ( &, Более точно, преобразование ( 6Я) - взаимно однозначно отображает Л на J. Следовательно, преобразование Z-ZBS взаимно однозначно отображает семейство оо-измеримых случайных величин Z на семейство и 1-измеримых случайных величин.
Если мы обозначим через x ( t) число вызовов, поступающих за промежуток времени ( 0, /), то для каждого фиксированного значения / ] 0 x ( t) представляет собой случайную величину. При переменном /, x ( t) представляет собой одно-параметрическое семейство случайных величин, которое называют случайным процессом или случайной функцией. Для функции x ( t) характерно то, что она: 1) может принимать только целые неотрицательные значения и 2) с возрастанием t никогда не убывает.

Этот подход вполне удовлетворителен, когда имеют дело лишь с одной парой случайных величин X, Y. Однако когда приходится иметь дело с целыми семействами случайных величин, то неединственность условных распределений приводит к серьезным трудностям. Поэтому замечательно то, что на практике можно обойтись без этой громоздкой теории.
Понятия теории вероятностей могут быть определены в терминах понятий теории меры. Поскольку вероятность является нормированной мерой, а случайные величины - конечными измеримыми функциями, в свойствах последовательностей случайных величин содержится нечто новое по сравнению со свойствами последовательностей измеримых функций, определенных на общих пространствах с мерой. Так как в теории вероятностей вероятностные пространства нужны только для того, чтобы служить областью определения семейств случайных величин, то вероятностные свойства будут выражаться только в терминах законов распределения этих семейств. Законы распределения представляют собой функции множеств, определенные на борелевских полях в пространствах значений случайных величин; они задаются функциями распределения, которые являются функциями точек в тех же пространствах значений. Преобразования Фурье - Стильтьеса функций распределения ( называемые характеристическими функциями) в значительной мере упростят дальнейшие исследования.
Конечные семейства случайных величин ( случайная величина, случайный вектор) могут рассматриваться как частный случай произвольных семейств случайных величин. Если Т содержит лишь одну точку, С - случайная величина, а если множество Т конечно, С - конечномерный случайный вектор. Более сложный случай, когда Т - множество целых чисел, приводит к понятию бесконечномерного случайного вектора или, как говорят, случайного процесса с дискретным параметром - временем. И, наконец, если Т - интервал действительной оси, то семейство случайных величин называют случайным процессом с непрерывным параметром - временем. Ее принято называть реализацией, или выборочной функцией.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11