Большая техническая энциклопедия
2 4 7
D L N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
МА МГ МЕ МИ МЛ МН МО МУ МЫ МЯ

Математическая теория - вероятность

 
Математическая теория вероятностей приобретает практическую ценность и наглядный смысл в связи с такими действительными или мыслимыми опытами и явлениями, как, например, однократное бросание монеты, бросание монеты 100 раз, бросание трех костей, сдача колоды карт, сопоставление двух колод карт, игра в рулетку, наблюдение продолжительности жизни радиоактивного атома или человека, выбор некоторой случайной группы людей и подсчет среди них числа левшей, скрещивание двух сортов растений и наблюдение фенотипов потомков, определение числа занятых линий на телефонной станции или числа телефонных вызовов, случайные шумы в электрических системах, выборочный контроль качества промышленной продукции, частота несчастных случаев, пол новорожденного, число двойных звезд на некотором участке неба, положение частицы при диффузии. Пока описание всех этих явлений довольно неопределенно, и, чтобы придать теории точный смысл, мы должны условиться о том, что мы понимаем под возможными исходами рассматриваемого опыта или наблюдения.
Таким образом и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. Так, мы приходим к приложениям математической теории вероятностей к таким областям пауки, которые не 1шеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле этого слова.
Таким образом и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много Других. Так, мы приходим к приложениям математической теории вероятностей к таким областям пауки, которые не имеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле этого слова.
В соответствии с математической теорией вероятности процесс проведения программы инвестирования по всей совокупности является составным событием, в котором альтернативные периоды кредитования являются элементарными событиями.
Популяционная генетика заимствовала у математической теории вероятностей два символа, р и q, для выражения частоты, с которой два аллеля, доминантный и рецессивный, встречаются в генофонде данной популяции.
В статистической физике используется аппарат математической теории вероятностей к многократно повторяющимся физическим состояниям или явлениям. Типичным примером является рассмотренный в тексте ( см. стр. Полагая, что вероятности распада для каждого ядра в отдельности равны, можно принять число распадающихся ядер за время ( И, пропорциональным ( И и числу имеющихся ядер N. Заметим, что полученные и для других явлений экспоненциальные законы ( см. стр. Ввиду этого определение понятия вероятность события имеет в статистической физике важное значение.
В статистической физике используется аппарат математической теории вероятностей к многократно повторяющимся физическим состояниям или явлениям. Типичным примером является рассмотренный ранее закон распада радиоактивных ядер. Полагая, что вероятности распада для каждого ядра в отдельности равны, можно принять число распадающихся ядер за время а /, пропорциональным с № и числу имеющихся ядер N. Заметим, что полученные и для других явлений экспоненциальные законы также имеют вероятностный смысл.
Инструментом для проведения необходимых вычислений является математическая теория вероятностей. Если событие происходит при любых условиях, его вероятность равна единице. Если же в результате проведения эксперимента или наблюдения установлено, что некоторое событие происходит в п случаях из N, то ему приписывается вероятность р n / N. Сумма вероятностей всех событий, которые могут произойти в результате некоторого эксперимента, должна быть равна единице. Перечисление всех возможных событий с соответствующими им вероятностями называется распределением вероятностей в данном эксперименте.
В прекрасном для своего времени учебнике Основания математической теории вероятностей ( 1846) В.Я. Буняковского ( 1804 - 1889) имеется довольно большой раздел, посвященный геометрической вероятности. В него включена задача Бюффона о бросании игль: и частный сл чай игры франк-карро, когда плоскость разбита на равнобедренные треугольники.
В докладе не только рассматривались общие вопросы применимости математической теории вероятностей к явлениям реального мира, имеющим случайный характер, и показано, каким образом теория алгоритмов и рекурсивных функций позволяет придать точный математический смысл сопоставлению сложного и случайного, но и сформулирована программа дальнейших исследований.
Очевидно, здесь предложен совершенно другой способ интерпретации математической теории вероятностей. В нашей интерпретации понятие вероятности ассоциируется не с относительными частотами появления события, а с определенным наблюдаемым поведением человека при принятии решений.
Однако для начинающих как раз хорошо, если математическую теорию вероятностей и реальный мир ясно различают.
Чтобы произвести подобные расчеты, необходимо было знать основы математической теории вероятности. Резерфорд был далеко не блестящим математиком и раньше всегда старался выбирать темы, не требующие серьезных математических выкладок.
Таким образом, хотя имеются две существенно различные интерпретации математической теории вероятностей, тем не менее веса, или степени уверенности, высказываемые разумными людьми, будут, по-видимому, близки к относительным частотам.
Как же осуществляется переход от дискретного к непрерывному случаю в построении строгой математической теории вероятностей. Автоматический перенос всей схемы построения дискретного вероятностного пространства ( см. § 4.1) на непрерывный случай невозможен.

Наконец, аналитическое представление плотностей распределения промысловых параметров позволяет использовать важные представления математической теории вероятности для того, чтобы лучше характеризовать ими пласты.
В настоящей главе мы рассмотрим некоторые вопросы, возникающие при применении общих принципов к математической теории вероятностей. Сначала мы рассмотрим вопрос о проверке согласованности теории с данными опыта, а затем дадим краткий обзор приложений теории для целей получения статистических выводов.
Статистический метод состоит в изучении свойсп макроскопических систем на основе анализа, с помощь методов математической теории вероятностей, закономер ностей теплового движения огромного числа микрочастиц образующих эти системы.
Расчет коли-титра для воды артезианских скважин и водопровода г. Москвы. Учет результатов анализа производится в соответствии с таблицами расчета коли-титра и коли-индекса, составленными на основании математической теории вероятности.
Таким образом, эта книга поможет аудиторам грамотно использовать методы статистического выборочного наблюдения, опирающиеся на математическую теорию вероятности.
Теория говорит, что чем больше раз мы бросаем кубики, тем точнее получается ответ, предсказываемый математической теорией вероятности.
Количество гнезд в столе полуавтомата должно обеспечивать высокую степень вероятности подбора парного валика за один оборот стола, что определяется методами математической теории вероятностей.
В своем предисловии к нему Ю.В. Прохоров и А.Н. Ширяев пишут: Значение монографии А.Н. Колмогорова определяется не только предложенной в ней схемой ( ставшей универсально принятой) логического обоснования математической теории вероятностей.
В настоящей работе не рассматривается нестабильная часть кинематической ошибки механизма, во-первых, потому, что это рассмотрение сводится к изучению вероятностных процессов на основе соответствующего раздела математической теории вероятностей, а, во-вторых и главным образом, ввиду обычно незначительной роли случайных, нестабильных кинематических ошибок механизма в оценке точности последнего по сравнению с ролью функциональных стабильных кинематических ошибок.
Распределение Стьюдента t со средним значением ( J. и стандартным отклонением а. Распределение Стьюдента t представляет собой выборочное распределение, введенное Госсетом, имевшим почетную профессию и работавшим на пивоваренном заводе в то время, когда он был студентом, готовя себя к пользовавшейся тогда сомнительной репутацией деятельности в области математической теории вероятности.
Затем, почти полвека спустя, происходит известный обмен письмами между Паскалем и Ферма [1], где ( в письме от Паскаля к Ферма от 29 июля 1654 г.) излагается решение задачи де Мере и тем самым, как принято считать по традиции, рождается математическая теория вероятностей. Однако лишь через 14 лет Жан де Витт применяет вероятностные расчеты к вычислению значений пожизненной ренты, и только с этого момента теория вероятностей как раздел математики покидает свою игровую питательную среду и начинает самостоятельное существование. Если целью игрока в комбинаторной игре является выигрыш и оптимальными действиями, стратегиями игрока считаются те, которые ему этот выигрыш обеспечивают, то в условиях азартной игры никакое искусство игрока ( не выходящее за рамки правил игры) не может гарантировать ему желаемый исход, зависящий, помимо всего прочего, еще и от случая. Поэтому получение игроком какой-либо фиксированной суммы не может, вообще говоря, рассматриваться им как та цель, для достижения которой он выбирает ту или иную свою стратегию. Здесь цель оказывается более сложной.
Термодинамика изучает свойства равновесных физических систем, исходя из трех основных законов, называемых началами термодинамики, и не использует явно представлений о молекулярном строении вещества, статистическая же физика при рассмотрении этих свойств с самого начала опирается на молекулярные представления о строении физических систем, широко применяя методы математической теории вероятностей.
В то время как термодинамика изучает свойства равновесных физических систем, исходя из трех основных законов, называемых началами термодинамики, и не использует явно представлений о молекулярном строении вещества, статистическая физика при рассмотрении этих свойств с самого начала опирается на молекулярные представления о строении физических систем, широко применяя методы математической теории вероятностей.

Всякая аксиоматическая ( абстрактная) теория допускает, как известно бесконечное число конкретных интерпретаций. Таким образом и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. Так мы приходим к приложениям математической теории вероятностей к таким областям науки, которые не имеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле этого слова.
Работа с запасом против технических условий в случае дрейфа параметров снижает вероятность выхода прибора из строя. В равной мере методы математической теории вероятности позволяют ориентироваться в вероятности отказа; но, конечно, правы авторы доклада фирмы Боинг в том, что очень многие занимаются математическими манипуляциями с данными, стремясь получить точное значение интенсивности отказов. Но ведь, например, страхование жизни почти ничего не дает для увеличения долговечности человека, тогда как врачи и ученые, занимающиеся исследованиями рака, приносят очень большую пользу. Чтобы увеличить долговечность полупроводниковых приборов, мы должны изучить и понять каждый отказ и затем разработать методы снижения... Такая программа требует очень больших средств.
Работа с запасом против технических условий в случае дрейфа параметров снижает вероятность выхода прибора из строя. В равной мере методы математической теории вероятности позволяют ориентироваться в вероятности отказа; но, конечно, правы авторы доклада фирмы Боинг в том, что очень многие занимаются математическими манипуляциями с данными, стремясь получить точное значение интенсивности отказов.
Отказы рассматривают как случайные события. Соответственно для анализа надежности используют методы математической теории вероятностей.
Таким образом и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. Так, мы приходим к приложениям математической теории вероятностей к таким областям пауки, которые не 1шеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле этого слова.
Таким образом и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много Других. Так, мы приходим к приложениям математической теории вероятностей к таким областям пауки, которые не имеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле этого слова.
Аудитор использует пристрастную выборку ( иногда называемую традиционной), определяет размер выборки, во многом полагаясь на собственную интуицию. Статистическое выборочное исследование, опираясь на математическую теорию вероятности, предоставляет аудитору четкую систему измерений размера выборки и качественную оценку результатов ее обследования. Роль интуиции, которой руководствуется аудитор при вынесении заключения о всей совокупности, из которой была сделана выборка, значительна.
Вполне уместен философский анализ этого умения, но такой анализ находится вне области математики, физики или статистики. Философское рассмотрение оснований теории вероятностей должно быть отделено от математической теории вероятностей и математической статистики в такой же мере, как рассмотрение наших интуитивных представлений о пространстве отделяется теперь от геометрии.
Ему принадлежит также ряд фундаментальных работ по дифференциальным уравнениям и по математической теории вероятностей.
Только что намеченная программа пока еще не выполнена, хотя у меня нет сомнений в ее выполнимости. Именно ее выполнение должно более совершенным образом, чем построения мизе-совского типа, связать математическую теорию вероятностей с ее применениями.
Наступление противоположного события Е, если не практически, то, по крайней мере, теоретически возможно; естественно поэтому подвергнуть изучению и это событие. Многочисленные примеры такого рода, вместе с более серьезными чисто математическими соображениями, оправдывают утверждение, что математическая теория вероятностей состоит в изучении булевских о-алгебр множеств.
Вполне традиционно представление, что случайность состоит в отсутствии закономерности. Но, по-видимому, только сейчас возникла возможность основать точные формулировки условий применимости к реальным явлениям результатов математической теории вероятностей непосредственно на этой простой идее.
Всякая аксиоматическая ( абстрактная) теория допускает, как известно бесконечное число конкретных интерпретаций. Таким образом и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. Так мы приходим к приложениям математической теории вероятностей к таким областям науки, которые не имеют отношения к понятиям случая и вероятности в собственном смысле этого слова.
Вероятностный подход естествен в теории передачи по каналам связи массовой информации, состоящей из большого числа не связанных или слабо связанных между собой сообщений, подчиненных определенным вероятностным закономерностям. Практически можно считать, например, вопрос об энтропии потока поздравительных телеграмм и пропускной способности канала связи, требующегося для их своевременной и неискаженной передачи, корректно поставленным в его вероятностной трактовке и при обычной замене вероятностей эмпирическими частотами. Если здесь и остается некоторая неудовлетворенность, то она связана с известной расплывчатостью наших концепций, относящихся к связям между математической теорией вероятностей и реальными случайными явлениями вообще.
Самым трудным в реальных задачах является определение числа благоприятствующих случаев М, которое нам заранее не может быть точно известно в силу самой природы массовых случайных явлений. Поэтому в современной аксиоматической теории вероятностей, созданной А. Н. Колмогоровым, вводится чисто формально понятие о вероятности, как о некотором числе, удовлетворяющем определенным немногим правилам ( аксиомам), и разрабатываются и исследуются различные математические операции над вероятностями. Вопрос же о том, как определить это самое число - вероятность некоторого интересующего нас реального случайного события - оставляют скрытым, справедливо полагая, что этот вопрос к собственно математической теории вероятностей отношения не имеет. Математики поступают точно таким же образом и во многих других случаях.

Они представляют собой математическую концепцию качественных вероятностей. Основной результат, полученный в экспериментах со взрослыми и детьми ( от 5 лет), состоит в следующем: в своих сравнениях люди действуют в полном соответствии с принципами математической теории качественных вероятностей.
Парадоксально, но физическая концепция вероятности не является простым применением математической вероятности в физике. Мотивы и дух обеих концепций различны. Фейнману, которому в 1965 г. присуждена Нобелевская премия по физике, законы квантовой физики можно понять, опираясь на теорию вероятностей, возникающую из теории азартных игр, если применить законы теории вероятностей к большому числу частиц, однако эти законы не объясняют поведение отдельного электрона или протона. Волновая теория де Бройля и Шредингера и принцип неопределенности Гейзенберга привели, во многом благодаря работам Борна, к созданию между 1926 и 1929 гг. новой квантовой теории вероятностей. Математическая теория вероятностей Колмогорова была построена также приблизительно в это время.
Такие маленькие частички ведут себя подобно гигантским молекулам. Если они настолько велики, что их можно видеть с помощью микроскопа, то, значит, они содержат около 1010 или 1011 атомов; с точки зрения масштаба атомов такие частички действительно можно считать гигантскими. Находятся ли они в жидкости или в газе, эти частички в любой момент времени подвергаются ударам роя движущихся молекул. Молекулы оказывают давление на маленькие частички, которые испытывают удары с одной стороны немного сильнее, чем с другой, и в соответствии с этим передвигаются в ту или другую сторону. Кроме того, частички вращаются, так как молекулярные удары закручивают их. Исходя из основных законов учения о тепле, а также из математической теории вероятности, можно вычислить, каково должно быть среднее перемещение таких частиц; измерения их траекторий подтверждают эти вычисления. Траектория броуновской частицы отличается от траектории единичной молекулы только по масштабу. Эта траектория аналогична траектории медленно диффундирующей молекулы, переносящей через комнату запах аммиака или газа из кухонной плиты.
Законы эти первоначально были открыты, без всякой математики, из непосредственных наблюдений газа, находящегося в замкнутом сосуде и подогреваемого или сжимаемого поршнем. Создатели кинетической теории стремились показать, что механика, позволяющая столь точно описывать движение огромной планеты, позволяет с не меньшим успехом предсказывать траектории целого роя дробин в замкнутом сосуде. Известно, что механика позволяет заранее вычислить траекторию снаряда, если известны его начальное положение и начальная скорость, но получить такую информацию о каждой молекуле газа невозможно. Однако поскольку мы не в состоянии вычислить траекторию каждой из миллиардов молекул газа в отдельности ( а если бы и могли, то все равно не сумели бы извлечь из хаоса чисел никакого общего физического закона), то нам не остается ничего другого, как, воспользовавшись теорией вероятностей, вычислить средние скорости молекул или средний импульс, передаваемый ими поршню, который закрывает газ в цилиндре. В течение последних 30 лет выяснилось, что, исключив столь неопределенное понятие, как случай, можно далеко продвинуться в построении строгой, математической теории вероятностей. Более того, возможно теорию вероятностей на радость ортодоксальным детерминистам вообще удастся изгнать из классической физики, однако в новой квантовой теории ее корни уходят значительно глубже. Во всяком случае изгнание теории вероятностей ( так же как и объяснение, почему это невозможно) - дело математиков.
Считалось, что методы статистической физики лишь приближенно описывают макроскопическое поведение системы. Даже Эйнштейну, хотя он вовсе не был консервативен, не нравились эти радикальные изменения в основаниях физики. В письме к Максу Борну ( получившему Нобелевскую премию за вероятностную интерпретацию волновой функции в квантовой механике) он написал, что верит в существование совершенных законов Природы: Бог не играет в кости. В своем ответе Борн объяснил, что вместо решения большого числа дифференциальных уравнений в некоторых случаях можно получить приемлемые результаты, бросая игральную кость. С тех пор идеи Борна стали доминирующими. Современное состояние мира не полностью определяет его будущее состояние. Парадоксально, но физическая концепция вероятности не является простым применением математической вероятности в физике. Мотивы и дух обеих концепций различны. Фейнману, которому в 1965 г. присуждена Нобелевская премия по физике, законы квантовой физики можно понять, опираясь на теорию вероятностей, возникающую из теории азартных игр, если применить законы теории вероятностей к большому числу частиц, однако эти законы не объясняют поведение отдельного электрона или протона. Волновая теория де Бройля и Шредингера и принцип неопределенности Гейзенберга привели, во многом благодаря работам Борна, к созданию между 1926 и 1929 гг. новой квантовой теории вероятностей. Математическая теория вероятностей Колмогорова была построена также приблизительно в это время.
Считалось, что методы статистической физики лишь приближенно описывают макроскопическое поведение системы. Даже Эйнштейну, хотя он вовсе не был консервативен, не нравились эти радикальные изменения в основаниях физики. В письме к Максу Борну ( получившему Нобелевскую премию за вероятностную интерпретацию волновой функции в квантовой механике) он написал, что верит в существование совершенных законов Природы: Бог не играет в кости. В своем ответе Борн объяснил, что вместо решения большого числа дифференциальных уравнений в некоторых случаях можно получить приемлемые результаты, бросая игральную кость. С тех пор идеи Борна стали доминирующими. Современное состояние мира не полностью определяет его будущее состояние. Парадоксально, но физическая концепция вероятности не является простым применением математической вероятности в физике. Мотивы и дух обеих концепций различны. Фейнману, которому в 1965 г. присуждена Нобелевская премия по физике, законы квантовой физики можно понять, опираясь на теорию вероятностей, возникающую из теории азартных игр, если применить законы теории вероятностей к большому числу частиц, однако эти законы не объясняют поведение отдельного электрона или протона. Математическая теория вероятностей Колмогорова была построена также приблизительно в это время.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11