Большая техническая энциклопедия
0 1 3 5 8
D N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ДА ДВ ДЕ ДЖ ДЗ ДИ ДЛ ДО ДР ДУ

Диаграмма - зацепление

 
Диаграмма зацепления L имеет менее п перекрестков, поэтому полиномы V ( iJ) можно вычислить, применив индукцию по числу перекрестков диаграммы.
Простейшие альтерниро - [ IMAGE ] Простейший. Среди диаграмм зацеплений выделяется особый класс альтернированных диаграмм.
Пусть задана диаграмма зацепления L. Будем говорить, что L обвиваете вокруг точки О, если любое звено L ( зацепление L мы считаем полигональным) из точки О видно как ориентированное справа налево ( как на рис. 6.3 ( а)); в таком случае будем говорить, что звено положительно.
Альтернированной называется такая диаграмма зацепления, у которой проходы чередуется с переходами при движении по любой компоненте.
При п 2 диаграмма оснащенного зацепления р 1 ( L) изображена на рис. 22.5 ( Ь), Оснащение каждой компоненты этого зацепления полностью определяется добавленной отрицательной петелькой.
К полученным таким образом диаграммам оснащенных зацеплений можно применять второе и третье преобразования Рейдемейстера; оснащения при этом не изменяются, а значит, не изменяются и результирующие многообразия.
При выполнении этих рекомендаций построение диаграммы зацепления ( см. рис. 4.25) не обязательно.
Задача 19.1. Докажите, что две диаграммы оснащенных зацеплений, изображенные на рис. 19.17, задают одно и то же многообразие.
Еще раз напомним, как получается оснащенная диаграмма оснащенного зацепления.
Конкретное значение высоты зубьев h определяют по диаграмме зацепления.
Задача 24.1. Докажите, что количество правильных раскрасок диаграммы зацепления в три цвета не изменяется при преобразованиях Рейдемейстера. Примените этот инвариант для доказательства того, что узел трилистник нетривиален.
Полином Джонса получается из него следующей подстановкой. В действительности, эти полиномы являются инвариантами не диаграмм зацеплений, а самих зацеплений.
Теорема Мурасуги [33] утверждает, что полином Джонса на диаграммах классических зацеплений имеет длину п, если диаграмма является связной суммой классических альтернированных диаграмм, и меньше п в противном случае.

При изотопии в Е3 можно проследить, как может изменяться диаграмма зацепления. В случаях общего положения локальное изменение комбинаторной структуры может иметь один из трех видов. Это было доказано в 1932 г. немецким топологом К. Рейдемейстером [35], с тех пор эти три преобразования называются движениями Рейдемейстера.
Для решения задачи алгоритмической классификации зацеплений достаточно построить два алгоритма: первый алгоритм генерирует список диаграмм зацеплений так, чтобы для любого изотопического класса зацеплений в списке встретилась хотя бы одна представляющая его диаграмма; второй алгоритм должен по двум диаграммам за конечное время определять, эквивалентны ли задаваемые ими зацепления. Поскольку первый алгоритм строится достаточно просто ( например, можно перебрать все комбинаторные типы диаграмм зацеплений), алгоритмическая классификация сводится по сути к проблеме сравнения зацеплений, заданных диаграммами.
Соотношение ( 2) означает, что добавление к диаграмме окружности, не пересекающей проекции соответствующего диаграмме зацепления, приводит к полиному, который получается из исходного полинома умножением на с. Кроме того, мы будем предполагать, что полином ( L) не изменяется при плоской изотопии диаграммы.
Дуге диаграммы зацепления L будет соответствовать транспозиция ( ij) в том случае, когда при обходе точки X вокруг этой дуги прообраз точки X переходит с листа i на лист j и наоборот, а на всех остальных листах прообраз возвращается в исходное положение. Легко проверить, что 3-листное разветвленное накрытие р: М3 - S3 из теоремы 23.1 обладает этим свойством.
Полином Кауффмана определяется следующим образом. Рассмотрим указанные на рис. 66 четыре неориентированные диаграммы зацеплений, отличающиеся только в окрестности одной точки пересечения.
Для решения задачи алгоритмической классификации зацеплений достаточно построить два алгоритма: первый алгоритм генерирует список диаграмм зацеплений так, чтобы для любого изотопического класса зацеплений в списке встретилась хотя бы одна представляющая его диаграмма; второй алгоритм должен по двум диаграммам за конечное время определять, эквивалентны ли задаваемые ими зацепления. Поскольку первый алгоритм строится достаточно просто ( например, можно перебрать все комбинаторные типы диаграмм зацеплений), алгоритмическая классификация сводится по сути к проблеме сравнения зацеплений, заданных диаграммами.
В соотношении ( Г) диаграммы L L-L совпадают вне маленького круга, а внутри его они устроены так, как показано на рис. 3.9. Это соотношение называют skein relation, или соотношение типа Конвея. Далее, в соотношения ( 2) диаграмма LliQ представляет собой диаграмму L, к которой добавлена окружность, не пересекающая проекцию соответствующего диаграмме зацепления.
В силу теоремы Александера о замыкании кос ( теорема 6.5) можно считать, что множество ветвления L С S3 представлено в виде замыкания косы. Раскраска диаграммы зацепления I индуцирует раскраску диаграммы этой косы. Диаграмма зацепления L не может быть одноцветной, потому что для диаграммы цвета ( ij) разветвленное 3-листное накрытие распадается на 2-листное и 1-листное.
В силу теоремы Александера о замыкании кос ( теорема 6.5) можно считать, что множество ветвления L С S3 представлено в виде замыкания косы. Раскраска диаграммы зацепления I индуцирует раскраску диаграммы этой косы. Диаграмма зацепления L не может быть одноцветной, потому что для диаграммы цвета ( ij) разветвленное 3-листное накрытие распадается на 2-листное и 1-листное.
Стандартный метод заключается в использовании инвариантов, т.е. алгебраических объектов ( например, чисел или полиномов), сопоставляемых диаграмме узла таким образом, чтобы сопоставляемый объект не изменялся при изотопии узла. В таком случае две диаграммы с разными значениями инварианта соответствуют разным узлам. Этот метод эффективен лишь в том случае, когда инвариант вычисляется достаточно просто. Построение полинома Джонса мы начнем с того, что сопоставим каждой диаграмме L неориентированного зацепления полином ( L), предложенный Луисом Кауфманом.
Узлы и зацепления задаются диаграммами, которые получаются следующим образом. Выберем в R3 такое направление rj, что при ортогональном проектировании узла вдоль этого направления на какую-то плоскость ( экран) касательный вектор к проекции нигде не равен нулю, проекция имеет только трансверсальные пересечения, и все точки пересечения двойные. Ясно, что таким свойствам удовлетворяют достаточно общие направления. Если мы теперь укажем на спроектированной кривой, как над точками пересечения лежат по отношению к экрану отрезки узлов ( сверху или снизу), то мы получим диаграмму зацепления. Диаграмма узла и сам узел называются ориентированными, если на каждой компоненте зацепления указано направление обхода; в противном случае мы говорим, что узел и его диаграмма неориентированы.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11