Большая техническая энциклопедия
2 3 8 9
U
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ЭЖ ЭК ЭЛ ЭМ ЭН ЭП ЭС ЭТ ЭФ

Экспоненциальное отображение

 
Экспоненциальное отображение имеет очень важное свойство функто-риальности.
Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Ди-доны / / Мат.
Экспоненциальное отображение в группе SLn ( C) не сюръ-ективно.
Экспоненциальное отображение е конформно во всей плоскости.
Экспоненциальное отображение ехрр: ТРМ - v M определяется для лоренцевых многообразий в точности так же, как и для римановых многообразий.
Используем теперь экспоненциальное отображение, ассоциированное с введенной метрикой, и определим с помощью ( п - 2) - мерного репера ц / г ] вложение ф, обладающее нужными свойствами. Детали этого построения аналогичны приведенным в заключительной части доказательства леммы 6.7, стр.
Поэтому экспоненциальное отображение ехр: д-к Ге ( СН ( д)) д является тождественным.
Понятие экспоненциального отображения, установленное нами для матриц, может быть обобщено на случай произвольной аналитической группы. Это позволяет использовать элементы, образующие алгебру Ли аналитической группы g, для параметрического представления элементов, образующих окрестность нейтрального элемента в 5 - Определение этого обобщенного экспоненциального отображения служит предметом § VIII. Экспоненциальное отображение используется в § IX для пополнения полученных в § VII сведений о гомоморфных отображениях аналитических групп.
С) - экспоненциальное отображение, определяемое так же, как и в вещественном случае. Пусть: 3 ( R) - J27 ( С) - отображение, которое каждому оператору L сопоставляет его комплекси-фикацию L, определенную выше. Следующее предложение вытекает непосредственно из определений.
Таким образом, наше экспоненциальное отображение совпадает с на нулевом сечении и поэтому индуцирует изоморфизм этого сечения на X.
Докажем теперь, что экспоненциальное отображение является аналитическим отображением определенного нами только что многообразия. W - кубическая окрестность точки е относительно этой системы.
Это показывает, что экспоненциальное отображение ехр: g - v G не является, вообще говоря, ни взаимно однозначным, ни отображением на.
Вышеизложенные факты, касающиеся экспоненциального отображения - это и есть все, чем мы будем пользоваться в дальнейшем.
Отметим, что в терминах экспоненциального отображения, аналогично § 13, обратные уравнения будут описаны в § 2 О.
Следующее предложение показывает, как дифференциал экспоненциального отображения можно использовать для построения якобиевых полей.

В этом базисе получаем нечто вроде экспоненциального отображения: как обычно алгебра Ли отображается на соответствующую группу Ли; возникает комплексная структура. Таким образом, можно выбрать мультипликативную униформизацию, которая представляет комплексный тор в виде фактора произведения нескольких комплексных мультипликативных групп по группе мультипликативных периодов.
В отличие от своего обратного ( экспоненциального отображения ехр), отображение log корректно определено только в некоторой окрестности единичного элемента. Однако для наших целей это небольшое неудобство не играет большой роли.
Для группы Ли SL ( К) экспоненциальное отображение не сюръ-ективно.
Для группы Ли GLn ( С) экспоненциальное отображение сюръектпв-но, но не открыто и не инъективтю.
Доказательство этого факта непосредственно следует из определения экспоненциального отображения.
Если Л - одноточечно, то ехрдг - обычное экспоненциальное отображение.
Ковариантная производная у, геодезическая пульверизация Z и экспоненциальное отображение ехр на BS ( M) пра-вощшариантны.
Свойство мультипликативности, характеризующее обычную экспоненту, для экспоненциального отображения в группах Ли выполняется лишь в ограниченном виде.
Имеет место простая и очень полезная связь между экспоненциальным отображением и полями Якоби. Именно, если поворачивать в касательном пространстве ТрМ луч с началом в нуле вокруг его начала, то образ этого луча при экспоненциальном отображении будет зачерчивать геодезическую вариацию. При этом дифференциал экспоненциального отображения rfexpp переводит ( линейное) поле скоростей движения точек луча в поле Якоби вдоль геодезической - образа луча. Опишем это более формально.
Определенное таким образом отображение exp: g G называется экспоненциальным отображением.
Фокс доказал теоремы 3.4.1 и 3.4.3 и показал, что экспоненциальное отображение Л в следствии 3.4.10 является взаимно однозначным отображением на.
Пусть на М задана связность Н и ехр - се экспоненциальное отображение.
Эта формула является частным случаем формулы Хелгасона [34] для дифференциала экспоненциального отображения в произвольном пространстве линейной связности.
Ноно [77] продолжал начатое им в других работах исследование особенностей экспоненциального отображения ехр вещественной или комплексной алгебры Ли G в группу ( &. Пусть A GG - элемент, в окрестности которого отображение ехр не является гомеоморфизмом. Размерность множества L ( х) равна числу линейно независимых собственных векторов оператора ad л: с собственными значениями вида 2ти &, где k - целое число, не равное нулю.
Определенное таким образом отображение ехр: fi - G называется экспоненциальным отображением.

Ам - Заметим, однако, что ехр не является экспоненциальным отображением связности Леви-Чивита, соответствующей римановой метрике, -) i на AM.
Если группа состоит из операторов, действующих в бесконечномерном пространстве, экспоненциальное отображение в ряде случаев может быть задано точпо так же, с надлежащими доказательствами сходимости.
Докажите, что для любых топологических пространств X, Y, Z экспоненциальное отображение Л: У2х - о ( улуг есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости на пространствах отображений.
Это аналитическая функция на д, нули которой совпадают с сингулярными точками экспоненциального отображения.
Для каждой пары X, Z хаусдорфовых пространств и произвольного топологического пространства Y экспоненциальное отображение Л: Y ( z х Х) - ( Yx z является гомео-морфным вложением по отношению к компактно-открытой топологии на пространствах отображений.
Если ZXX есть k - пространство, то для любого топологического пространства Y экспоненциальное отображение Л: У х - ( У) является гомеоморфизмом относительно компактно-открытой топологии на пространствах отображении.
Используя теорему 7, построим на Т ( К) пульверизацию с и получим экспоненциальное отображение.
Та или иная линейная связность V и определяемые через нее параллельный перенос, геодезические, экспоненциальное отображение, преобразование кривизны могут вводиться на любом гладком многообразии.
Обозначим через S алгебру Ли группы N и через exp: S - N - экспоненциальное отображение. Дифференциал dg отображения g в единице группы N является автоморфизмом алгебры 2, а отображение ехр осуществляет топологическую сопряженность между отображениями g к dg ( см. [8], стр.
Обозначим через S алгебру Ли группы N и через exp: S - vJV - экспоненциальное отображение.
Ориентированные геодезические, проходящие через х, параметризуются единичной двумерной сферой в касательном пространстве Тя посредством экспоненциального отображения. Поскольку U является единичной нормалью к этой сфере, из формулы (2.3) вытекает, что инволюция J сохраняет ее касательное пространство и, более того, определяет стандартную комплексную структуру на римановой сфере.
Таким образом, бесследные матрицы образуют алгебру Ли, связанную с группой SL ( 2) экспоненциальным отображением (8.3) и называемую алгеброй Ли этой группы.
Многие результаты теории обычных групп Ли ( связь между группами и алгебрами Ли, конструкция и свойства экспоненциального отображения) имеют аналоги и в р-адичееком случае. Эти результаты находят применение в алгебраич.
Если X и Z - хаусдорфовы пространства с первой аксиомой счетности, то для каждого топологического пространства Y экспоненциальное отображение Л: У ( ХХ) - ( У) является гомеоморфизмом по отношению к компактно-открытой топологии на пространствах отображений.
ЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ГРУППА, группа Ли типа ( Е) - вещественная конечномерная группа Ли G, для к-рой экспоненциальное отображение ехр: И - - G, где С ( - алгебра Ли группы G, является диффеоморфизмом.

Для римановых многообразий, наделяя касательное пространство плоской метрикой ( см. определение 9.17), можно показать, что экспоненциальное отображение не уменьшает длин касательных векторов ( точную формулировку см. Бишоп и Криттенден ( 1967, с. Сопоставляя якобиевы поля на данном римановом многообразии с якобиевыми полями в R и используя теорему сравнения Рауха, можно получить простое доказательство этого факта. Для доказательства аналогичных результатов для пространств с неотрицательной времениподобной секционной кривизной мы воспользуемся времениподобной теоремой сравнения Рауха ( см. Флаэрти ( 1975а, с. Интуитивно ясно, что приведенное ниже следствие 10.12 выражает тот факт, что если времениподобные секционные кривизны ( М, g) положительны, то направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из данной точки, разбегаются в М быстрее, чем соответствующие геодезические в пространстве-времени Минковского. Напомним, что канонический изоморфизм Т0 определен в разд.
И) На М нет сопряженных точек; следовательно, универсальная накрывающая М многообразия М диффеоморфна любому касательному пространству посредством экспоненциального отображения.
Для любого поля / С существует естественный кольцевой гомоморфизм целых чисел Z в простое подполе из / С Таким образом, в формулах экспоненциального отображения, описывающего те автоморфизмы алгебры L, которые порождают соответствующие группы Ли, целочисленный базис позволил Шевалле заменить поле комплексных чисел С на поле / С. В частности, для конечного поля / С получаются конечные группы.
Этим доказано, что D6 ( хг, 0) является топлинейным изоморфизмом, и, значит, доказано, что ограничение на нормальном расслоении экспоненциального отображения является локальным изоморфизмом на нулевом сечении.
Обозначим чрез - f петлю в Stab ( F), которая является образом сегмента [ 0 Х ] С stab ( F) при экспоненциальном отображении.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11