Большая техническая энциклопедия
2 3 8 9
U
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ДА ДВ ДЕ ДИ ДЛ ДН ДО ДР ДУ ДЫ

Дополнительное подпространство

 
Дополнительное подпространство к ядру невырождено, и, следовательно, мы можем считать, что Е невырождено. Заканчиваем доказательство по индукции.
Пусть Я, Я - ортогональные взаимно дополнительные подпространства в Н, Р, Р - - проекторы.
Кратные многочлена В образуют векторное подпространство F пространства Еп дополнительное подпространство F состоит из многочленов степени, строго меньшей степени многочлена В ( см. задачу 3.09), и размерность подпространства F равна степени многочлена В.
Если L есть инвариантное подпространство, то можно многими способами построить дополнительное подпространство М такое, что X - L - j - M. Однако среди этих дополнительных подпространств может не быть ни одного инвариантного. Если же есть хотя бы одно инвариантное дополнительное подпространство, то можно говорить о разложена пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.
Линейный оператор называется полупростым, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное дополнительное подпространство.
L, есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству.
Оператор полупростой - линейный оператор, у которого всякое инвариантное подпространство обладает инвариантным дополнительным подпространством.
Таким образом, формулы (4.6) (4.9) определяют распределения проекций любого случайного вектора на взаимно дополнительные подпространства.
В качестве идеала взять любое подпространство коразмерности единица, содержащее коммутант, в качестве подалгебры - любое дополнительное подпространство.
Линейное отображение ш пространства Е в Е определяется заданием его сужений w и ш2 на два взаимно дополнительных подпространства.
Минковского каждая из сумм ( с двумя слагаемыми) может быть взята со слагаемыми, лежащими ь ортогонально дополнительных подпространствах.
Таким образом, формулы ( 6) - ( 9) определяют распределения проекций любого случайного вектора на взаимно дополнительные подпространства.
Заметим, что Е - полупростой модуль над D, так как в векторном пространстве всякое подпространство обладает дополнительным подпространством.
Для любого неприводимого p ( G) - инвариантного подпространства W в У существует p ( G) - инвариантное дополнительное подпространство.
Для того чтобы векторное пространство V с операторами было полупростым, необходимо а достаточно, чтобы всякое его допустимое подпространство обладало дополнительным подпространством в V, которое бы также было допустимым. Бела U - допустимое подпространство полупростого пространства V, то само подпространство U и фактор-пространство V / U являются полупростыми векторными пространствами с операторами.

Линейная группа G c GL ( V) вполне приводима тогда и только тогда, когда для всякого G-инвариантного подпространства пространства V существует G-инвариантное дополнительное подпространство.
Поэтому уравнение (9.14) и формула (9.15) определяют регрессию проекции Y нормально распределенного случайного вектора [ Хт YT ] T на его проекцию X на дополнительное подпространство. Первая формула (4.83) и уравнение (4.82), определяющие регрессию одной координаты нормально распределенного случайного вектора на все остальные его координаты, вытекают из результатов (9.14) и (9.15) как частные случаи.
Доказать, что линейное преобразование ф, отличное от i, для которого ф2 I, есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству.
Поэтому уравнение ( 14) и формула ( 15) определяют регрессию проекции Y нормально распределенного случайного вектора [ Хт YT ] T на его проекцию X на дополнительное подпространство. Формула (4.55) и уравнение (4.57), определяющие регрессию одной координаты нормально распределенного случайного вектора на все остальные его координаты, вытекают из полученных результатов как частные случаи.
В частном случае, когда подпространство G образовано некоторыми единичными координатными векторами, для нахождения характеристической функции проекции вектора X на подпространство G следует в выражении i ( A) положить равными нулю все координаты вектора А в дополнительном подпространстве.
Напомним, что через 7 ( g) мы обозначаем представления, реализуемые в подпространстве функций р ( и), равных нулю при signT и - 1, а через Т - ( g) - представления, реализуемые в дополнительном подпространстве.
Исследование разложения С будет закончено, если мы сможем явно описать операторы проектирования, определенные этим разложением. Нам также понадобятся оценки для оператора T ( t) на дополнительном подпространстве QA, чтобы можно было применять результаты для возмущенных линейных систем. В следующем разделе мы дадим явное представление оператора проектирования через оператор, формально сопряженный с А относительно некоторой билинейной формы. Мотивировкой такого подхода служит то, что окончательные результаты можно выразить на языке, обычном для дифференциальных уравнений.
В четвертой главе изучаются распределения и условные распределения проекций случайного вектора. Выводятся формулы для определения плотности проекции случайного вектора и ее условной плотности при данном значении проекции случайного вектора на дополнительное подпространство по данной плотности случайного вектора. Даются понятия зависимости и независимости случайных величин. Изучаются многомерное нормальное распределение и характеристические функции случайных величин.
В главе 4 изучаются распределения и условные распределения проекций случайного вектора. Выводятся формулы для определения плотности проекции случайного вектора и ее условной плотности при данном значении проекции случайного вектора на дополнительное подпространство по данной плотности случайного вектора. Даются понятия зависимости и независимости случайных величин. Изучаются многомерное нормальное распределение и характеристические функции случайных величин.
Такое разбиение полного набора на два набора ортонормальных спин-орбиталей ( называемых занятыми и незанятыми) является, конечно, совершенно произвольным. Мы говорим, что T [ tys ( занятые S) и У и ( незанятые U) образуют дополнительные подпространства в полном пространстве, натянутом на некоторый полный набор спин-орбиталей. Мы говорим также, что операторы pj и p i проектируют на подпространства f и Т соответственно.
Очевидно, что все наши рассуждения справедливы и в том случае, когда X и Y представляет собой случайные векторы. Поэтому формулы (4.16) и (4.21) определяют условное распределение проекции случайного вектора на любое подпространство при данном значении его проекции на дополнительное подпространство.
Всякая нетривиальная разрешимая алгебра Ли g может быть разложена в полупрямую сумму идеала п коразмерности 1 и одномерной подалгебры а. А именно, в качестве п можно взять любое подпространство коразмерности 1, содержащее g, а в качестве а - любое дополнительное подпространство. Применяя предложение 4.3, индукцией по dimg получаем отсюда следующую теорему.
Очевидно, что все наши рассуждения справедливы и в том случае, когда X и У представляют собой случайные векторы. Поэтому формулы ( 16) и ( 21) определяют условное распределение проекции случайного вектора на любое подпространство при данном значении его проекции на дополнительное подпространство.
Итак, мы видим, что каждая дискретная серия неприводимых унитарных представлений состоит из двух половин - представлений T. ТЙ ( g) - Первые реализуются в подпространстве функций ф ( и) таких, что ф ( и) 0 при signT и - 1; вторые - в дополнительном подпространстве.
Для любого aeR отображение Т ( а, - f - со, а) индуцирует, как в гл. C ( a) C ( a) Cs ( a), где С ( а) соответствует мультипликаторам уравнения (10.2.3) с модулем 1, С ( а) соответствует простому мультипликатору уравнения (10.2.3), равному 1, и, следовательно, имеет базис ра, а Cs ( a) есть дополнительное подпространство, начальным значениям из которого соответствуют решения уравнения (10.2.3), стремящиеся к нулю при / - оо.

Если L есть инвариантное подпространство, то можно многими способами построить дополнительное подпространство М такое, что X - L - j - M. Однако среди этих дополнительных подпространств может не быть ни одного инвариантного. Если же есть хотя бы одно инвариантное дополнительное подпространство, то можно говорить о разложена пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11